Question

【題目】在正方形 ABCD 中，點(diǎn) P 在射線 AB 上，連結(jié) PC，PD，M，N 分別為 AB，PC 中點(diǎn)，連結(jié) MN 交 PD 于點(diǎn) Q．

（1）如圖 1，當(dāng)點(diǎn) P 與點(diǎn) B 重合時(shí)，求∠QMB 的度數(shù)；

（2）當(dāng)點(diǎn) P 在線段 AB 的延長(zhǎng)線上時(shí).

①依題意補(bǔ)全圖2

②小聰通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、提出猜想：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有QP=QM.小聰把這個(gè)猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流，通過(guò)討論，形成了證明該猜想的幾種想法：

想法1延長(zhǎng)BA到點(diǎn) E，使AE=PB .要證QP=QM，只需證△PDA≌△ECB.

想法2：取PD 中點(diǎn)E ，連結(jié)NE,EA. 要證QP=QM只需證四邊形NEAM 是平行四邊形.

想 法3：過(guò)N 作 NE∥CB 交PB 于點(diǎn) E ，要證QP=QM ，只要證明△NEM∽△DAP.

……

請(qǐng)你參考上面的想法，幫助小聰證明QP=QM. (一種方法即可)

Answer 1

【答案】（1）∠QMB 的度數(shù)為45°；

（2）①補(bǔ)全圖2見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）連接AC，由MN分別是AB、BC的中點(diǎn)可得，MN是 的中位線，即可得到∠QMB 的度數(shù)為45°；（2）①根據(jù)題意畫(huà)出圖形；②根據(jù)每種方法提示解題即可；

試題解析：

(1) 連結(jié)AC,如圖所示：

∵四邊形ABCD是正方形

∴∠D AB=90°

∴∠C AB=45°

點(diǎn) M,N 是 AB,BC 中點(diǎn)

∴MN∥AC

∴∠NMB=∠C AB=45°

∴∠QMB=∠C AB=45°

(2)① 如圖所示：

②想法1：延長(zhǎng)BA 到點(diǎn)E，使AE=PB

∴BE=AP

∵正方形ABCD

∴∠PAD=∠EBC=90° AD=BC

∴△PDA≌△ECB

∠DPA=∠E

又點(diǎn)M 是AB 中點(diǎn),AM=MB, 又AE=BP

∴AM+EA=MB+BP

∴EM=MP

∴M是EP中點(diǎn)

∴MN是△EPC的中位線

∴MN∥EC

∴∠E=∠NMP

∴∠NMP=∠DPA即∠QMP=∠QPM

∴QM=QP

想法2：取PD 中點(diǎn)E，連結(jié)NE,EA

∵E,N分別是PD,PC

∴EN∥CD,EN=CD

又CD∥AB,CD=AB

∴EN∥AB且EN=AB

∴EN=AM

∴四邊形是NEAM是平行四邊形

∴EA∥MN

∴∠EAB=∠NMB

又點(diǎn)E 是Rt△DAP 斜邊DP中點(diǎn)

∴AE=EP

∴∠EAB=∠EPA

∴∠NMB=∠EPA

∴QM=QP

想法3:過(guò)N 作 NE∥CB 交PB 于點(diǎn) E ，

∵CB⊥AB,

∴NE⊥AP

又∵N 是 PC中點(diǎn)

∴NE 是△CBP的中位線

∴NE=BC

又點(diǎn)E是B P中點(diǎn)

∴BE=BP,MB=AB

∴ME=AP

∴

∠NEM=∠DAP=90°

∴△NEM∽△DAP

∴∠EMN=∠APD

∴QM=QP