Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠D=90°，AC平分∠DAB，且點C在以AB為直徑的⊙O上．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）點E是⊙O上一點，連接BE，CE．若∠BCE=42°，cos∠DAC= ，AC=m，寫出求線段CE長的思路．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：連接OC，如圖1中．

∵AC平分∠DAB，

∴∠1=∠2，

∵OA=OC，

∴∠3=∠2，

∴∠3=∠1，

∴AD∥OC，

∴∠OCD=∠D=90°，

又∵OC是⊙O的半徑，

∴CD是⊙O的切線．

（2）解：求解思路如下：

過點B作BF⊥CE于F，如圖．

①在Rt△ACB中，根據BC=ACtan∠CAB，求出BC．

②在Rt△CFB中，由∠BCF=42°及BC的長，可求CF，BF的長；

③在Rt△EFB中，由∠E的三角函數值及BF的長，可EF的長；

④由CE=CF+EF，可求CE的長

【解析】（1）連接OC，如圖1中．只要證明OC∥AD，由AD⊥CD，即可證明OC⊥CD解決問題．（2）過點B作BF⊥CE于F，如圖2中．①在Rt△ACB中，根據BC=ACtan∠CAB，求出BC．②在Rt△CFB中，由∠BCF=42°及BC的長，可求CF，BF的長；③在Rt△EFB中，由∠E的三角函數值及BF的長，可EF的長；④由CE=CF+EF，可求CE的長．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解解直角三角形的相關知識，掌握解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．