Question

【題目】如圖，四邊形中， ，過(guò)點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

（1）求證：是的中點(diǎn)．

（2）已知，是射線上的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)，

①若四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；

②在①中，當(dāng)為何值時(shí)，的周長(zhǎng)最小，并求出此時(shí)的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①；②，．

【解析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，根據(jù)，推出，即可得出答案；
（2）①根據(jù)勾股定理求出AC，求出CF的長(zhǎng)，得出四邊形BCDP是梯形，根據(jù)梯形的面積公式得出即可；
②求出CP+BP最小時(shí)，△BCP的周長(zhǎng)最小，根據(jù)對(duì)稱得出當(dāng)P到E時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，證△DAE∽△ACB，得出比例式，求出DE的值即可．

（1）證明：

，即是的中點(diǎn)

（2）①在Rt△ACB中，AB=15，BC=9，由勾股定理得：

∵DF∥BC，
∴梯形BCDP的面積y=（x+9）×6=3x+27，
即y=3x+27（x＞0）．

②△PBC的周長(zhǎng)是BC+CP+PB=9cm+CP+BP，
要使△PBC的周長(zhǎng)最小，只要CP+BP最小即可，
∵CF=AF，DE⊥AC，
∴C、A關(guān)于DF對(duì)稱，
即當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，CP+BP最小，此時(shí)△PBC的周長(zhǎng)最小， 求得AE=BE=AB=cm，
∵DE∥BC，
∴∠DEA=∠CBA，
∵∠DAE=∠ACB=90°，
∴△DAE∽△ACB，
∴，
∴，

當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)最小，此時(shí)．