Question

【題目】已知拋物線L：y＝mx2+nx-6經過點（-2，2），與x軸相交于A（-3，0）和B兩點，并與y軸相交于點C．拋物線L′與L關于坐標原點對稱，點A，B在L′上的對應點分別為A′和B′．

（1）求拋物線L的函數(shù)表達式．

（2）在拋物線L′上是否存在點P，使得△PA′A的面積等于△CB′B的面積？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－2x2－8x－6；（2）存在，點P的坐標為（2，－2）或（2－，2）或（2＋，2）

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關系式．

（2）由二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和關于原點對稱的點的坐標的性質求得A'（3，0），B'（1，0），則AA'=6，BB'=2，OC=6，設L'上的點P在L上的對應點為P'，P'的縱坐標為n，由對稱性，可得 S△PA'A=S△P'A'A要使 S△P'A'A=S△CB'B，由此列出關于n的方程，通過解方程求得n的值．易得P'的坐標為（－2，2）或（－2＋，－2）或（－2－，－2），再一次利用由對稱性，可得P的坐標．

（1）解：將（-2，2），（-3，0）代入y＝mx2+nx-6，得

，解得，故拋物線L的函數(shù)表達式為y＝－2x2－8x－6．

（2）解：存在．理由如下：

在拋物線L中，令x＝0，則y＝－6，

∴C（0，－6）．

令y＝0，則－2x2－8x－6＝0，解得x＝－1或x＝－3，

∴A（－3，0），B（-1，0）．

∵拋物線L′與L關于坐標原點對稱，

∴A′（3，0），B′（1，0），

∴AA′＝6，BB′＝2，OC＝6．

設拋物線L′上的點P在拋物線L上的對應點為P′，點P′的縱坐標為s，

由對稱性，可得S△PA′A＝S△P′A′A．

要使S△P′A′A＝S△CB′B，則AA′·|s|＝B′B·OC，

∴|s|＝2，即s＝±2．

令y＝2，則－2x2－8x－6＝2，解得x＝－2；

令y＝－2，則－2x2－8x－6＝－2，解得x＝－2＋或x＝－2－．

∴點P′的坐標為（－2，2）或（－2＋，－2）或（－2－，－2），

由對稱性可得點P的坐標為（2，－2）或（2－，2）或（2＋，2）．