已知關(guān)于x的方程(m2-1)x2-3(3m-1)x+18=0有兩個正整數(shù)根(m是正整數(shù)).△ABC的三邊a、b、c滿足c=2
3
,m2+a2m-8a=0,m2+b2m-8b=0.
求:(1)m的值;(2)△ABC的面積.
分析:(1)本題可先求出方程(m2-1)x2-3(3m-1)x+18=0的兩個根,然后根據(jù)這兩個根都是正整數(shù)求出m的值.
(2)由(1)得出的m的值,然后將m2+a2m-8a=0,m2+b2m-8b=0.進(jìn)行化簡,得出a,b的值.然后再根據(jù)三角形三邊的關(guān)系來確定符合條件的a,b的值,進(jìn)而得出三角形的面積.
解答:解:(1)∵關(guān)于x的方程(m2-1)x2-3(3m-1)x+18=0有兩個正整數(shù)根(m是整數(shù)).
∵a=m2-1,b=-9m+3,c=18,
∴b2-4ac=(9m-3)2-72(m2-1)=9(m-3)2≥0,
設(shè)x1,x2是此方程的兩個根,
∴x1•x2=
c
a
=
18
m2-1

18
m2-1
也是正整數(shù),即m2-1=1或2或3或6或9或18,
又m為正整數(shù),
∴m=2;

(2)把m=2代入兩等式,化簡得a2-4a+2=0,b2-4b+2=0
當(dāng)a=b時,a=b=2±
2

當(dāng)a≠b時,a、b是方程x2-4x+2=0的兩根,而△>0,由韋達(dá)定理得a+b=4>0,ab=2>0,則a>0、b>0.
①a≠b,c=2
3
時,由于a2+b2=(a+b)2-2ab=16-4=12=c2
故△ABC為直角三角形,且∠C=90°,S△ABC=
1
2
ab=1

②a=b=2-
2
,c=2
3
時,因2(2-
2
)
2
3
,故不能構(gòu)成三角形,不合題意,舍去.
③a=b=2+
2
,c=2
3
時,因2(2+
2
)
2
3
,故能構(gòu)成三角形.
S△ABC=
1
2
×2
3
×
(2+
2
)
2
-(
3
)
2
=
9+12
2

綜上,△ABC的面積為1或
9+12
2
點評:本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及勾股定理等知識點,本題中分類對a,b的值進(jìn)行討論,并通過計算得出三角形的形狀是解題的關(guān)鍵.
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