【題目】如圖1所示,將一個(gè)邊長為2的正方形ABCD和一個(gè)長為2,寬為1的長方形CEFD拼在一起,構(gòu)成一個(gè)大的長方形ABEF,現(xiàn)將小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′,旋轉(zhuǎn)角為α

1)當(dāng)邊CD′恰好經(jīng)過EF的中點(diǎn)H時(shí),求旋轉(zhuǎn)角α的大;

2)如圖2GBC中點(diǎn),且α90°,求證:GD′=E′D;

3)小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中,△DCD′△BCD′能否全等?若能,直接寫出旋轉(zhuǎn)角α的大;若不能,說明理由.

【答案】(1∠α=30°;(2)證明見解析;(3)旋轉(zhuǎn)角a的值為135°315°時(shí),△BCD′△DCD′全等.

【解析】試題分析:(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CE=CH=1,即可得出結(jié)論;

2)由GBC中點(diǎn)可得CG=CE,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠D′CE′=∠DCE=90°CE=CE′CE,則∠GCD′=∠DCE′=90°+α,然后根據(jù)“SAS”可判斷△GCD′≌△E′CD,則GD′=E′D

3)根據(jù)正方形的性質(zhì)得CB=CD,而CD=CD′,則△BCD′△DCD′為腰相等的兩等腰三角形,當(dāng)兩頂角相等時(shí)它們?nèi),?dāng)△BCD′△DCD′為鈍角三角形時(shí),可計(jì)算出α=135°,當(dāng)△BCD′△DCD′為銳角三角形時(shí),可計(jì)算得到α=315°

試題解析:(1

長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′,∴CE=CH=1∴△CEH為等腰直角三角形,∴∠ECH=45°∴∠α=30°;

2)證明:∵GBC中點(diǎn),∴CG=1∴CG=CE,長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′,∴∠D′CE′=∠DCE=90°CE=CE′=CG,∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α,在△GCD′△E′CD中,∵CD′=CD,∠GCD=∠DCE′,CG=CE′,∴△GCD′≌△E′CDSAS),∴GD′=E′D;

3)解:能.

理由如下:

四邊形ABCD為正方形,∴CB=CD∵CD′=CD′,∴△BCD′△DCD′為腰相等的兩等腰三角形,當(dāng)∠BCD′=∠DCD′時(shí),△BCD′≌△DCD′,當(dāng)△BCD′△DCD′為鈍角三角形時(shí),則旋轉(zhuǎn)角α=360°-90°÷2=135°,當(dāng)△BCD′△DCD′為銳角三角形時(shí),∠BCD′=∠DCD′=∠BCD=45°,則α=360°﹣90°÷2=315°,即旋轉(zhuǎn)角a的值為135°315°時(shí),△BCD′△DCD′全等.

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