Question

(10分)如圖，已知拋物線與軸交于A(1，0)，B（，0）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)

C(0，3)，拋物線的頂點(diǎn)為P，連結(jié)AC．

(1)求此拋物線的解析式；

(2)在拋物線上找一點(diǎn)D，使得DC與AC垂直，且直線DC與軸交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得S_△MAP=2S_△ACP，若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

 

 

Answer 1

（10分）解（1）設(shè)此拋物線的解析式為：

∵拋物線與軸交于A（1，0）、B（兩點(diǎn)，

∴

又∵拋物線與軸交于點(diǎn)C（0，3）

∴，

∴

∴

即……………3分

用其他解法參照給分

（2）∵點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)C（0，3）

∴OA=1，OC=3，

∵DC⊥AC，OC⊥軸

∴△QOC∽△COA

∴，即

∴OQ=9，……………………4分

又∵點(diǎn)Q在軸的負(fù)半軸上，∴Q（

設(shè)直線DC的解析式為：，則

    解之得：

∴直線DC的解析式為：……………………5分

∵點(diǎn)D是拋物線與直線DC的交點(diǎn)，

∴    解之得：    （不合題意，應(yīng)舍去）

∴點(diǎn)D（……………………6分

用其他解法參照給分

（3）如圖，點(diǎn)M為直線上一點(diǎn)，連結(jié)AM，PC，PA

設(shè)點(diǎn)M（，直線與軸交于點(diǎn)E，∴AE=2

∵拋物線的頂點(diǎn)為P，對(duì)稱軸為

∴P（

∴PE=4

則PM=

∵S_{四邊形AEPC}=S_{四邊形OEPC}+S_△AOC

                 =

=

=……………………7分

又∵S_{四邊形AEPC}= S_△AEP+S_△ACP

S_△AEP=

∴+S_△ACP=……………………8分

∵S_△MAP=2S_△ACP

∴

∴

∴，……………………9分

故拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)M使S_△MAP=2S_△ACP

點(diǎn)M（或……………………10分

用其他解法參照給分

解析:略