【題目】如圖①,在平面直角坐標(biāo)系xOy 中,拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點(diǎn)A(-1,0) 、B(3,0) 兩點(diǎn),且與y軸交于點(diǎn)C

.

(1)求拋物線的表達(dá)式;

(2)如圖②,用寬為4個(gè)單位長度的直尺垂直于x軸,并沿x軸左右平移,直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于P、 Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)),連接PQ,在線段PQ上方拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)D,連接DP、DQ.

①若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為,求DPQ面積的最大值,并求此時(shí)點(diǎn)D 的坐標(biāo);

②直尺在平移過程中,DPQ面積是否有最大值?若有,求出面積的最大值;若沒有,請說明理由.

【答案】(1)拋物線y=-x2+2x+3;(2)①點(diǎn)D( );PQD面積的最大值為8

【解析】(1)根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式;
(2)(I)由點(diǎn)P的橫坐標(biāo)可得出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的表達(dá)式,過點(diǎn)DDEy軸交直線PQ于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,-x2+2x+3),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,-x+),進(jìn)而即可得出DE的長度,利用三角形的面積公式可得出SDPQ=-2x2+6x+,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題;
(II)假設(shè)存在,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為4+t,進(jìn)而可得出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求出直線PQ的表達(dá)式,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,-x2+2x+3),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,-2(t+1)x+t2+4t+3),進(jìn)而即可得出DE的長度,利用三角形的面積公式可得出SDPQ=-2x2+4(t+2)x-2t2-8t,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題.

1)將A(-1,0)、B(3,0)代入y=ax2+bx+3,得:

,解得:,
∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3.
(2)(I)當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為-時(shí),點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為,
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-,),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(,-).
設(shè)直線PQ的表達(dá)式為y=mx+n,
P(-,)、Q(,-代入y=mx+n,得:

,解得:,

∴直線PQ的表達(dá)式為y=-x+
如圖②,過點(diǎn)DDEy軸交直線PQ于點(diǎn)E,


設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,-x2+2x+3),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,-x+),
DE=-x2+2x+3-(-x+)=-x2+3x+,
SDPQ=DE(xQ-xP)=-2x2+6x+=-2(x-2+8.
-2<0,
∴當(dāng)x=時(shí),DPQ的面積取最大值,最大值為8,此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,).
(II)假設(shè)存在,設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t,則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為4+t,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,-t2+2t+3),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(4+t,-(4+t)2+2(4+t)+3),
利用待定系數(shù)法易知,直線PQ的表達(dá)式為y=-2(t+1)x+t2+4t+3.
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,-x2+2x+3),則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,-2(t+1)x+t2+4t+3),
DE=-x2+2x+3-[-2(t+1)x+t2+4t+3]=-x2+2(t+2)x-t2-4t,
SDPQ=DE(xQ-xP)=-2x2+4(t+2)x-2t2-8t=-2[x-(t+2)]2+8.
-2<0,
∴當(dāng)x=t+2時(shí),DPQ的面積取最大值,最大值為8.
∴假設(shè)成立,即直尺在平移過程中,DPQ面積有最大值,面積的最大值為8.

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原式=y (y+2)+1 (第一步)

y2+2y+1 (第二步)

(y+1)2 (第三步)

(x22x+1)2 (第四步)

請問:

1)該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否徹底?   (填徹底不徹底),若不徹底,則該因式分解的最終結(jié)果為 ;

2)請你模仿上述方法,對多項(xiàng)式(x24x+2)(x24x+6)+4進(jìn)行因式分解.

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5

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12

16

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