Question

【題目】如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，過(guò)C作⊙O的切線交AB的延長(zhǎng)線于E，AD⊥CE于D，連結(jié)AC.

（1）求證：AC平分∠BAD.

（2）若tan∠CAD=，AD=8，求⊙O直徑AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）

【解析】試題分析：（1）連接OC，由DE為圓O的切線，得到OC垂直于CD，再由AD垂直于DE，得到AD與OC平行，得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，根據(jù)OA=OC，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換即可得證；

（2）在直角三角形ADC中，利用銳角三角函數(shù)定義求出CD的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)，由三角形ACD與三角形ABC相似，得到對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求出AB的長(zhǎng)．

試題解析：（1）連結(jié)OC，

∵DE是⊙O的切線，

∴OC⊥DE，

∵AD⊥CE，

∴AD∥OC，

∵OA=OC，

∴∠DAC=∠ACO=∠CAO，

∴AC平分∠BAD；

（2）∵AD⊥CE，tan∠CAD=，AD=8，

∴CD=6，

∴AC=10，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°=∠D，

∵∠DAC=∠CAO，

∴△ACD∽△ABC，

∴AB：AC=AC：AD，

∴AB=．