Question

已知：在△ABC中，以AC邊為直徑的⊙O交BC于點D，在劣弧上取一點E使∠EBC=∠DEC，延長BE依次交AC于點G，交⊙O于H．
（1）求證：AC丄BH；
（2）若∠ABC=45°，⊙O的直徑等于10，BD=8，求CE的長．

Answer 1

（1）證明：連接AD，
∵∠DAC=∠DEC，∠EBC=∠DEC，
∴∠DAC=∠EBC，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=90°，
∴∠DCA+∠DAC=90°，
∴∠EBC+∠DCA=90°，
∴∠BGC=180°-（∠EBC+∠DCA）=180°-90°=90°，
∴AC⊥BH；

（2）解：∵∠BDA=180°-∠ADC=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°，
∴BD=AD，
∵BD=8，∴AD=8，
在直角三角形ADC中，AD=8，AC=10，
根據(jù)勾股定理得：DC=6，則BC=BD+DC=14，
∵∠EBC=∠DEC，∠BCE=∠ECD，
∴△BCE∽△ECD，
∴，即CE²=BC•CD=14×6=84，
∴CE==2．
分析：（1）連接AD，由圓周角定理即可得出∠DAC=∠DEC，∠ADC=90°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）由∠BDA=180°-∠ADC=90°，∠ABC=45°可求出∠BAD=45°，利用勾股定理即可得出DC的長，進(jìn)而求出BC的長，由已知的一對角線段和公共角，根據(jù)兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得三角形BCE與三角形EDC相似，由相似得比例即可求出CE的長．
點評：本題考查的是圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．