Question

【題目】如圖，ABCD中，BD是它的一條對角線，過A、C兩點作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分別為E、F，延長AE、CF分別交CD、AB于M、N．

（1）求證：四邊形CMAN是平行四邊形．
（2）已知DE=4，F(xiàn)N=3，求BN的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD∥AB，

∵AM⊥BD，CN⊥BD，

∴AM∥CN，

∴CM∥AN，AM∥CN，

∴四邊形AMCN是平行四邊形．

（2）

解：∵四邊形AMCN是平行四邊形，

∴CM=AN，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD=AB，CD∥AB，

∴DM=BN，∠MDE=∠NBF，

在△MDE和△NBF中，

，

∴△MDE≌△NBF，

∴ME=NF=3，

在RT△DME中，∵∠DEM=90°，DE=4，ME=3，

∴DM= = =5，

∴BN=DM=5．

【解析】本題考查平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是記住平行四邊形的判定方法和性質(zhì)，正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．（1）只要證明CM∥AN，AM∥CN即可．（2）先證明△DEM≌△BFN得BN=DM，再在RT△DEM中，利用勾股定理即可解決問題．