Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分線．

(1) 用無刻度的直尺和圓規(guī)過A、D兩點作⊙O，使圓心O在AB邊上 (保留畫圖痕跡，不寫畫法)

(2) 求證：BC為⊙O的切線；

(3) 如果AC=3，tanB=，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）圖見解析（2）見解析（3）

【解析】

(1)因為AD是弦，所以圓心O即在AB上，也在AD的垂直平分線上；

(2)因為D在圓上，所以只要能證明OD⊥BC就說明BC為⊙O的切線；

(3)根據∠B的正切值，先求出BC、AB的值，再結合三角形相似就可求出圓的半徑的長．

解答

(1)如圖所示，

(2)連接OD，

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠BAD，

又∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠CAD=∠ODA，

∴OD//AC，

∴∠ODB=∠C=90，

又∵OD為半徑，

∴BC是⊙O的切線.

(3)∵AC=3，tanB=

∴BC=4，

∴AB=5，

設⊙O的半徑為r，則OA=OD=r，BO=5r，

∵OD//AC，

∴△BOD∽△BAC，

∴

即，

解得，r=，

∴⊙O的半徑為．