Question

【題目】如圖所示，點是線段的中點，，.

（1）如圖1，若，求證是等邊三角形；

（2）如圖1，在（1）的條件下，若點在射線上，點在點右側(cè)，且是等邊三角形，的延長線交直線于點，求的長度；

（3）如圖2，在（1）的條件下，若點在線段上，是等邊三角形，且點沿著線段從點運動到點，點隨之運動，求點的運動路徑的長度.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）18；（3）18.

【解析】

（1）利用垂直平分線的性質(zhì)可得BA=BC，再得，即可證明是等邊三角形；

（2）證明，得出，繼而得到，即可求得PC的長度；

（3）取BC的中點H，分兩種情況證明，得出或，可知點N的運動路徑是一條線段，據(jù)此求解即可.

解：（1）∵，，

，

是線段中點，，

，

是等邊三角形；

（2）∵、是等邊三角形，

∴，AB=BC，BD=BQ，，

∴，

∴，

，

，

，

，

，

；

（3）取BC的中點H，連接OH,連接CN，

分兩種情況討論：

當(dāng)M在線段上時，如圖2，

∵H是BC的中點，,

∴,

∴是等邊三角形,

∵是等邊三角形,

∴，OM=ON， ，

∴,

∴，

點從起點到作直線運動,

∵當(dāng)點M在點B時，CN=BH=9,

∴點M從B運動到H時，點N運動路徑的長度等于9；

當(dāng)點M在線段上時，如圖3，

∵H是BC的中點，,

∴,

∴是等邊三角形,

∵是等邊三角形,

∴，OM=ON， ，

∴,

∴，

點從到終點作直線運動,

∵當(dāng)點M在點C時，CN=CH=9,

∴點M從H運動到C時，點N運動路徑的長度等于9；

綜上所述，的路徑長度為：.