Question

已知：在如圖1所示的銳角三角形ABC中，CH⊥AB于點H，點B關于直線CH的對稱點為D，AC邊上一點E滿足∠EDA=∠A，直線DE交直線CH于點F．
(1) 求證：BF∥AC；
(2) 若AC邊的中點為M，求證：；
(3) 當AB=BC時（如圖2），在未添加輔助線和其它字母的條件下，找出圖2中所有與BE相等的線段，并證明你的結論．

圖1                                    圖2

Answer 1

證明：（1）如圖6．
∵ 點B關于直線CH的對稱點為D，
CH⊥AB于點H，
直線DE交直線CH于點F，
∴ BF=DF，DH=BH．
∴ ∠1=∠2．
又∵ ∠EDA=∠A，∠EDA=∠1，
∴ ∠A＝∠2．
∴ BF∥AC．
（2）取FD的中點N，連結HM、HN.
∵ H是BD的中點，N是FD的中點，
∴ HN∥BF．
由（1）得BF∥AC，
∴ HN∥AC，即HN∥EM．
∵ 在Rt△ACH中，∠AHC=90°，
AC邊的中點為M，
∴ ．
∴ ∠A＝∠3．
∴ ∠EDA=∠3．
∴ NE∥HM．
∴ 四邊形ENHM是平行四邊形．
∴ HN=EM．
∵ 在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中點為N，
∴ ，即．
∴ ．
（3）當AB=BC時，在未添加輔助線和其它字母的條件下，原題圖2中所有與BE相等的線段是EF和CE． （只猜想結論不給分）
證明：連結CD．（如圖8）
∵ 點B關于直線CH的對稱點為D，CH⊥AB于點H，
∴  BC=CD，∠ABC＝∠5．
∵  AB＝BC，
∴ ，
 AB＝CD．①
∵ ∠EDA=∠A，
∴ ，AE=DE．②
∴ ∠ABC＝∠6=∠5．
∵ ∠BDE是△ADE的外角，
∴ ．
∵ ，
∴ ∠A＝∠4．③
由①，②，③得 △ABE≌△DCE．
∴ BE= CE．
由（1）中BF=DF得 ∠CFE=∠BFC．
由（1）中所得BF∥AC 可得∠BFC=∠ECF．
∴ ∠CFE=∠ECF．
∴ EF=CE．
∴ BE=EF．             ∴ BE=EF=CE．
（閱卷說明：在第3問中，若僅證出BE=EF或BE=CE只得2分）

略