Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx＋4經(jīng)過點(diǎn)A(－1，0)，B(4，0)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝x＋2交y軸于點(diǎn)D，交拋物線于E，F兩點(diǎn)，點(diǎn)P為線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與E，F不重合)，PQ∥y軸與拋物線交于點(diǎn)Q.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當(dāng)P在什么位置時(shí)，四邊形PDCQ為平行四邊形？求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)是否存在點(diǎn)P使△POB為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1) y＝－x2＋3x＋4；(2)P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，4)；(3) P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，4)或(－1＋，1＋)．

【解析】

（1）把A與B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，得到關(guān)于a與b的二元一次方程組，求出方程組的解集即可得到a與b的值，然后把a與b的值代入拋物線的解析式即可確定出拋物線的解析式；
（2）因?yàn)?/span>PQ與y軸平行，要使四邊形PDCQ為平行四邊形，即要保證PQ等于CD，所以令x=0，求出拋物線解析式中的y即為D的縱坐標(biāo)，又根據(jù)拋物線的解析式求出C的坐標(biāo)，即可求出CD的長(zhǎng)，設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m即為Q的橫坐標(biāo)，表示出PQ的長(zhǎng)，令其等于2列出關(guān)于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，判斷符合題意的m的值，即可求出P的坐標(biāo)；
（3）存在．分兩種情況考慮：當(dāng)OB作底時(shí)，求出線段OB垂直平分線與直線EF的交點(diǎn)即為P的位置，求出此時(shí)P的坐標(biāo)即可；當(dāng)OB作為腰時(shí)，得到OB等于OP，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及OB的長(zhǎng)，利用勾股定理及相似的知識(shí)即可求出此時(shí)P的坐標(biāo)．

(1)根據(jù)題意，得

解得

∴所求拋物線的解析式為y＝－x2＋3x＋4；

(2)∵PQ∥y軸，∴當(dāng)PQ＝CD時(shí)，四邊形PDCQ是平行四邊形，

∵當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－x2＋3x＋4＝4，y＝x＋2＝2，

∴C(0，4)，D(0，2)，

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，∴PQ＝(－m2＋3m＋4)－(m＋2)＝2，解得m1＝0，m2＝2.

當(dāng)m＝0時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，不能構(gòu)成平行四邊形，

∴m＝2，m＋2＝4，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，4)；

(3)存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，4)或(－1＋，1＋)．