Question

【題目】如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，對(duì)稱軸是直線，與軸交于點(diǎn)．若點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，都以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度分別沿，邊運(yùn)動(dòng)．

（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)，與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）當(dāng)，運(yùn)動(dòng)到秒時(shí)，沿翻折，點(diǎn)恰好落在軸上點(diǎn)處，請(qǐng)判定此時(shí)四邊形的形狀，并求出點(diǎn)坐標(biāo)．

（3）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到對(duì)稱軸與的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)往回運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)則倍的速度繼續(xù)沿運(yùn)動(dòng)，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形面積是否存在最大值？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（4）在段的拋物線上有一點(diǎn)到線段的距離最大，請(qǐng)求出這個(gè)最大距離．

Answer 1

【答案】(1) 二次函數(shù)的解析式為；點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）為菱形，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）最大值；（4）最大距離為．

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式,進(jìn)而求得點(diǎn)C和點(diǎn)A的坐標(biāo)．

(2)先證明AMDN為菱形,再由菱形的性質(zhì)得出OM∥AN,進(jìn)而證明,利用對(duì)應(yīng)邊成比例求出OD的值,即可求出D的坐標(biāo)．

(3)①當(dāng)M沿AB方向運(yùn)動(dòng)時(shí),作輔助線證明,利用對(duì)應(yīng)邊成比例求線段進(jìn)而求出面積;②當(dāng)點(diǎn)M沿BA方向運(yùn)動(dòng)時(shí), 同樣證明,利用對(duì)應(yīng)邊成比例求出線段進(jìn)而求出面積．

(4)通過(guò)一次函數(shù)的解析式設(shè)出R點(diǎn)坐標(biāo), 過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段得出N點(diǎn)坐標(biāo),由相似對(duì)應(yīng)邊成比例求出RG為二次函數(shù),利用二次函數(shù)的最值解出即可．

解：（1）由已知，得，解得

所以二次函數(shù)的解析式為．

由對(duì)稱軸以及點(diǎn)的坐標(biāo)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為．

將代人拋物線方程，得，所以點(diǎn)坐標(biāo)為．

（2）如圖1，因?yàn)樗倪呅?/span>的四條邊相等，所以為菱形，所以．

，，由，得，即

解得．又，，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

圖1

（3）①當(dāng)點(diǎn)沿方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)做垂直于點(diǎn)，如圖2．

則，由，得．

即，，，此時(shí)當(dāng)時(shí)，面積取最大值．

圖2

②當(dāng)點(diǎn)沿方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3設(shè)返回時(shí)的時(shí)間為，同樣，，，

此時(shí)，

當(dāng)時(shí)，取得最大值

綜合①②可知，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程，當(dāng)時(shí)間為時(shí)，取得最大值．

圖3

（4）求得

設(shè)此段拋物線上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段，交于點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，

，

由，得，

由，得，，

得．

當(dāng)時(shí)，取最大值為．

圖4