Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，線段BD的垂直平分線EG交AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)G．
（1）當(dāng)∠B=30°時(shí)，AE和EF有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在BC延長(zhǎng)線上（CD＜BC）運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E是否在線段AF的垂直平分線上？

Answer 1

【答案】
（1）解：AE=EF，

理由是：∵線段BD的垂直平分線EG交AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)G，

∴DE=BE，

∵∠B=30°，

∴∠D=∠B=30°，

∴∠DEA=∠D+∠B=60°，

∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，

∴∠A=60°，

∴∠A=∠DEA=60°，

∴△AEF是等邊三角形，

∴AE=EF；

（2）解：點(diǎn)E是在線段AF的垂直平分線，

理由是：∵∠B=∠D，∠ACB=90°=∠FCD，

∴∠A=∠DFC，

∵∠DFC=∠AFE，

∴∠A=∠AFE，

∴EF=AE，

∴點(diǎn)E是在線段AF的垂直平分線．

【解析】（1）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出DE=BE，求出∠D=∠B=30°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)求出∠A=∠DEA=60°，即可得出答案；（2）求出∠A=∠AFE，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出即可．
【考點(diǎn)精析】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)和含30度角的直角三角形是解答本題的根本，需要知道垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．