Question

【題目】如圖，等邊三角形ABC中，E、F為AC、AB中點，EF延長線交△ABC外接圓于P，則PB：AP的數值為_____（提示：圓內接四邊形對角互補）

Answer 1

【答案】

【解析】

根據△ABC是等邊三角形，E、F為AC、AB中點，證得EF＝AF＝BF，設AF＝BF＝x，利用△APB∽△AFP，求得PB＝PF；作PM⊥AB于M，再設FM＝y，通過計算得PF＝2y，PM＝y，PB＝2y，BM＝x﹣y，根據勾股定理得y＝x，繼而求得答案.

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°，

∵∠APB+∠ACB＝180°，

∴∠APB＝120°，

∵E、F為AC、AB中點，

∴EF∥BC，EF＝BC＝AB＝AF＝BF，

∴∠AFE＝∠ABC＝60°，

∴∠AFP＝120°＝∠APB，

∵∠PAB＝∠FAP，

∴△APB∽△AFP，

∴，

∴AP2＝AF×AB，

設AF＝BF＝x，則AB＝2x，

∴AP2＝2x2，AP＝x，

∴，

∴PB＝PF，

作PM⊥AB于M，如圖所示：

∵∠PFM＝∠AFE＝60°，

∴∠FPM＝30°，

∴FM＝PF，PM＝FM，

設FM＝y，則PF＝2y，PM＝y，PB＝2y，BM＝x﹣y，

在中，由勾股定理得：（y）2+（x﹣y）2＝（2y）2，

解得：y＝x（負值舍去），

∴y＝x，

∴PB＝x，

∴；

故答案為：．