Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+2交x軸于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C，其對稱軸為x=，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求證：∠ACB是直角；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得∠APB為銳角？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意可得A，B．C三點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于M點(diǎn)，則M為AB的中點(diǎn)，AB為⊙M的直徑，故∠ACB=90°；
（3）連接CD，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，如圖1．設(shè)點(diǎn)P（x，y）是拋物線上任意一點(diǎn)，要使得∠APB為銳角，分情況討論P(yáng)點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：
（1）解：D=A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（4，O），（-1，O），（O，2）．

（2）證明：△BOC∽△COA，∠BC0=∠CAO．

（3）解：設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于M點(diǎn)，則M為AB的中點(diǎn)，
且其坐標(biāo)為（，0），∠BCA=90°，
∵B、C、A三點(diǎn)都在以BA為直徑的0M上，
又拋物線y=-++2和⊙M都關(guān)于直線x=對稱．
∴c點(diǎn)關(guān)于x=的對稱點(diǎn)D必在拋物線上，也在⊙M上．
連接CD，交直線x=交于N點(diǎn)，易知N點(diǎn)坐標(biāo)為（，2），而N為CD的中點(diǎn)，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（3，2），（7分）
作出⊙M，則⊙M將拋物線分成BC段、CD段、DA段及x軸下方的部分（如圖1所示）．
設(shè)點(diǎn)P（x，y）是拋物線上任意一點(diǎn)，
當(dāng)P點(diǎn)在CD段（不包括C、D兩點(diǎn)）及在x軸下方的部分時(shí)，P點(diǎn)均在⊙M外．
當(dāng)P點(diǎn)在⊙M外時(shí)，不失一般性，令P點(diǎn)在CD段，
連接BP交OM于Q點(diǎn)，連接AQ、AP（如圖2），則：
∠BQA是△PAQ的外角．
∴∠APQ＜AQB．
又AB是⊙M的直徑∠AQB-90°，
∴∠APB＜90°，
故當(dāng)P點(diǎn)在OM外時(shí)，P點(diǎn)對線段BA所張的角為銳角，即∠APB為銳角．
即當(dāng)x＜-1或0＜x＜3或x＞4時(shí)，∠APB為銳角．
故拋物線上存在點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x滿足x＜-1或O＜x＜3或x＞4時(shí)，∠APB為銳角．（10分）
點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)的兩點(diǎn)坐標(biāo)式以及圓的切線等綜合知識，難度較大．