Question

【題目】關(guān)于x的一元二次方程x2﹣(2k﹣1)x+k2﹣2k+2＝0有兩個不相等的實數(shù)根．

(1)求實數(shù)k的取值范圍；

(2)設(shè)方程的兩個實數(shù)根分別為x1，x2．是否存在這樣的實數(shù)k，使得|x1|﹣|x2|＝？若存在，求出這樣的k值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)k＞；(2)k＝3．

【解析】

(1)由方程有兩個不相等的實數(shù)根知△＞0，列出關(guān)于k的不等式求解可得；

(2)由韋達(dá)定理知x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2﹣2k+2＝(k﹣1)2+1＞0，將原式兩邊平方后把x1+x2、x1x2代入得到關(guān)于k的方程，求解可得．

(1)由題意知△＞0，

∴[﹣(2k﹣1)]2﹣4×1×(k2﹣2k+2)＞0，

整理，得：4k﹣7＞0，

解得：k＞；

(2)由題意知x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2﹣2k+2＝(k+1)2+1＞0，

∵|x1|﹣|x2|＝，

∴x12﹣2x1x2+x22＝5，即(x1+x2)2﹣4x1x2＝5，

代入得：(2k﹣1)2﹣4(k2﹣2k+2)＝5，

整理，得：4k﹣12＝0，

解得：k＝3．