如圖,AB是半圓O的直徑,以O(shè)A為直徑的半圓O′與弦AC交于點(diǎn)D,O′E∥AC,并交OC于點(diǎn)E,則下列結(jié)論:①S△O′OE=
1
2
S△AOC2;②點(diǎn)D時(shí)AC的中點(diǎn);③
AC
=2AD;④四邊形O′DEO是菱形.其中正確的結(jié)論是( 。
分析:連結(jié)O′D,OD,由O′E∥AC可判斷△OO′E∽△OAC,利用相似三角形的性質(zhì)得
S△O′OC
S△AOC
=(
OO′
OA
2=
1
4
;由OA為半圓O′的直徑,根據(jù)圓周角定理得∠ADO=90°,則根據(jù)垂徑定理得到AD=CD,即點(diǎn)D時(shí)AC的中點(diǎn);于是可判斷O′D為△ACO的中位線,則O′D∥OC,得到∠AO′D=∠AOC=α,然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式得到
AC
的弧長(zhǎng)=2
AD
的弧長(zhǎng);再證明O′E為△ACO的中位線得到OE=CE,則DE∥OA,于是可判斷四邊形O′DEO為平行四邊形,然后利用OO′=OE判斷四邊形O′DEO是菱形.
解答:解:連結(jié)O′D,如圖,
∵AB是半圓O的直徑,OA為半圓O′的直徑,
∴OA=2O′A,
∵O′E∥AC,
∴△OO′E∽△OAC,
S△O′OC
S△AOC
=(
OO′
OA
2=(
1
2
2=
1
4
,所以①錯(cuò)誤;
連結(jié)OD,
∵OA為半圓O′的直徑,
∴∠ADO=90°,
∴OD⊥AC,
∴AD=CD,所以②正確;
∴O′D為△ACO的中位線,
∴O′D∥OC,
∴∠AO′D=∠AOC=α,
AD
的弧長(zhǎng)=
α•π•O′A
180

AC
的弧長(zhǎng)=
α•π•OA
180
=
α•π•2O′A
180
,
AC
的弧長(zhǎng)=2
AD
的弧長(zhǎng),所以③正確;
∵O′E∥AC,點(diǎn)O′為OA的中點(diǎn),
∴O′E為△ACO的中位線,
∴OE=CE,
∴DE∥OA,
∴四邊形O′DEO為平行四邊形,
而OO′=OE,
∴四邊形O′DEO是菱形.所以④正確.
故選C.
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓的綜合題:熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和菱形的判定;會(huì)運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)行幾何計(jì)算;記住弧長(zhǎng)公式和三角形中位線性質(zhì).
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精英家教網(wǎng)如圖,AB是半圓O的直徑,AC是弦,點(diǎn)P從點(diǎn)B開(kāi)始沿BA邊向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng),若AB長(zhǎng)為10cm,點(diǎn)O到AC的距離為4cm.
(1)求弦AC的長(zhǎng);
(2)問(wèn)經(jīng)過(guò)幾秒后,△APC是等腰三角形.

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