Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，點(diǎn)D在AB上，AD=2，點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)D出發(fā)，分別沿DA、DB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A、B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)E也隨之停止．在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側(cè)．設(shè)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，正方形EFGH與△ABC重疊部分面積為S．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，正方形EFGH的頂點(diǎn)G剛好落在線段AC上；
（2）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，求出s與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出t的取值范圍；
（3）當(dāng)t≥2時(shí)，是否存在t的值，使△EGB為等腰三角形？若存在，求出所有滿足條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）分兩種情況：當(dāng)0＜t＜2時(shí)，如圖1-1：GF=2t，AF=2+t；當(dāng)2＜t＜8時(shí)，如圖1-2：GF=4，AF=2+t；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得t的值；
（2）正方形EFGH與△ABC重疊部分的形狀，依次為正方形、五邊形和梯形；可分三段分別解答：①當(dāng)0＜t≤

6

11

時(shí)；②當(dāng)

6

11

＜t≤

6

5

時(shí)；③當(dāng)

6

5

＜t≤2時(shí)；依次求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）以E為頂點(diǎn)，以G為頂點(diǎn)，以B為頂點(diǎn)，分三種情況討論即可求得t的值．

解答：解：（1）當(dāng)0＜t＜2時(shí)，如圖1-1：GF=2t，AF=2+t
因?yàn)椤鰽FG～△ACB，所以

GF

BC

=

AF

AC

，即

2+t

8

=

2t

6

，所以t=

6

5

當(dāng)2＜t＜8時(shí)，如圖1-2：GF=4，AF=2+t
因?yàn)椤鰽FG～△ACB，所以

GF

BC

=

AF

AC

，即

2+t

8

=

4

6

，所以t=

10

3

即：當(dāng)t=

6

5

或t=

10

3

時(shí)，正方形EFGH的頂點(diǎn)G剛好落在線段AC上

（2）①當(dāng)0＜t≤

6

11

時(shí)，s與t的函數(shù)關(guān)系式是：s=2t•2t=4t²；
②當(dāng)

6

11

＜t≤

6

5

時(shí)，如圖2-1所示：HN=2t-

3

4

(2-t)=

11

4

t-

3

2

，HM=

4

3

HN=

4

3

(

11

4

t-

3

2

)；
s與t的函數(shù)關(guān)系式是：S=S正方形EFGH-S△MHN=4t2-

1

2

•HN•HM
所以s=4t2-

1

2

•

4

3

•[

11

4

t-

3

2

]2=-

25

24

t2+

11

2

t-

3

2

；
③當(dāng)

6

5

＜t≤2時(shí)，如圖2-2，AF=t+2，F(xiàn)M=

3

4

(t+2)，AE=2-t，EN=

3

4

(2-t)，
s與t的函數(shù)關(guān)系式是：S=S△AFM-S△AEN=

1

2

×

3

4

(t+2)2-

1

2

×

3

4

(2-t)2=3t；

（3）當(dāng)t≥2時(shí)，存在使△EGB為等腰三角形的t的值．
EG=4

2

，BE=10-（t-2）=12-t，BG=

(8-t)2+16

①當(dāng)EG=EB時(shí)，4

2

=12-t，t=12-4

2

；
②當(dāng)GE=GB時(shí)，4

2

=

(8-t)2+16

，解得：t₁=4，t₂=12（舍去）；
③當(dāng)BE=BG時(shí)，12-t=

(8-t)2+16

，解得：t=8．
綜上所述：當(dāng)t=12-4

2

，t=4，t=8時(shí)，△EGB為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了動(dòng)點(diǎn)函數(shù)問(wèn)題，其中應(yīng)用到了相似形、等腰三角形的性質(zhì)、正方形及勾股定理的性質(zhì)，分類思想的運(yùn)用，鍛煉了學(xué)生運(yùn)用綜合知識(shí)解答題目的能力．