Question

已知一元二次方程x²-(2k+1)x+k²+k=0 .

(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

(2)若△ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，第三邊BC的長(zhǎng)為5.   當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，求k的值.

Answer 1

解：（1）證明：∵一元二次方程為x²-(2k+1)x+k²+k=0,

△     =[-(2k+1)]²-4 (k²+k)=1>0, ∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

(2) ∵△ABC的兩邊AB、AC的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由（1）知，AB≠AC，△ABC第三邊BC的長(zhǎng)為5，且△ABC是等腰三角形，

∴必然有AB=5或AC=5，即x=5是原方程的一個(gè)解。

將x=5代入方程x²-(2k+1)x+k²+k=0，

25-5(2k+1) +k² +k=0，解得k=4或k=5.

當(dāng)k=4時(shí)，原方程為x² -9x +20 = 0 ，x₁=5, x₂= 4, 以5，5，4為邊長(zhǎng)能構(gòu)成等腰三角形；

當(dāng)k=5時(shí)，原方程為x² -11x +30 = 0 ，x₁=5, x₂=6, 以5，5，6為邊長(zhǎng)能構(gòu)成等腰三角形；（必須檢驗(yàn)方程的另一個(gè)解大于0小于10且不等于5）

∴k的值為4或5。