Question

已知拋物線①經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0）、B（4，5）、C（0，-3），其對稱軸與直線BC交于點(diǎn)P．
（1）求拋物線①的表達(dá)式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）將拋物線①向右平移1個單位后再作上下平移，得到的拋物線②恰好過點(diǎn)P，求上下平移的方向和距離；
（3）設(shè)拋物線②的頂點(diǎn)為D，與y軸的交點(diǎn)為E，試求∠EDP的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax²+bx-3，將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入求得a、b的值，進(jìn)而求得拋物線的對稱軸．根據(jù)B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得直線BC的解析式．對稱軸與直線BC交于點(diǎn)P，因而P的坐標(biāo)即可確定．
（2）設(shè)拋物線①向右平移1個單位后再向上平移m個單位得拋物線②，根據(jù)拋物線①的頂點(diǎn)式解析式，寫出拋物線②的頂點(diǎn)式解析式．再將（1）中得到的P點(diǎn)坐標(biāo)值代入，即可求得m的值，那么拋物線②上下平移的方向和距離也就得知．
（3）首先根據(jù)（2）寫出拋物線②的解析式，D點(diǎn)的坐標(biāo)也就確定．因?yàn)镋點(diǎn)是拋物線②與y軸的交點(diǎn)，那么可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)值．首先根據(jù)D、P點(diǎn)的坐標(biāo)，可得到直線DP與x軸夾角．再利用角間的關(guān)系及三角函數(shù)，得到結(jié)果．

解答：解：（1）據(jù)題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為y=ax²+bx-3，
則

0=a-b-3 5=16a+4b-3

，
解得

a=1 b=-2

，
∴拋物線的表達(dá)式為y=x²-2x-3，
∴對稱軸為直線x=1，
據(jù)題意設(shè)直線BC的解析式為y=kx-3，則5=4k-3，k=2，
∴直線BC的解析式為y=2x-3，
∴P（1，-1）；

（2）設(shè)拋物線①向右平移1個單位后再向上平移m個單位得拋物線②，
則拋物線②的表達(dá)式為y=（x-1-1）²-4+m，
∵拋物線②過點(diǎn)P，
∴-1=（1-1-1）²-4+m，
∴m=2，
∴再將它向上移動2個單位可得到拋物線②；

（3）∵拋物線①向右移動1個單位，再向上平移2個單位得到拋物線②，
∴拋物線②的表達(dá)式是y=（x-1-1）²-4+2，即y=（x-2）²-2，
∴D（2，-2），E（0，2），
∵P（1，-1），
∴直線DP過點(diǎn)O，且與x軸夾角為45°，
過點(diǎn)E作EH⊥DP于點(diǎn)H，
∴∠EOH=45°，
∵E（0，2），
∴EH=

2

，而ED=

22+(2+2)2

=2

5

，
∴sin∠EDP=

EH

DE

=

2

2 5

=

10

10

．

點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、拋物線的平移等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生利用拋物線的頂點(diǎn)式解決平移，以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．