Question

（2012•浙江一模）在研究勾股定理時，同學(xué)們都見到過圖1，∠CBA=90°，四邊形ACKH、BCED、ABFG都是正方形．
（1）連接BK、AE得到圖2，則△CBK≌△CEA，此時兩個三角形全等的判定依據(jù)是

SAS

；過B作BM⊥KH于M，交AC于N，則S_矩形KMNC=2S_△CKB；同理S_{正方形BCED}=2S_△CEA，得S_{正方形BCED}=S_矩形KMNC，然后可證得勾股定理．
（2）在圖1中，若將三個正方形“退化”為正三角形，得到圖3，同學(xué)們可以探究△BCD、△ABG、△ACK的面積關(guān)系是

S_△BCD+S_△ABG=S_△ACK

．
（3）為了研究問題的需要，將圖1中的Rt△ABC也進(jìn)行“退化”為銳角△ABC，并擦去正方形ACKH得圖4，由AB、BC兩邊向三角形外作正△BCD、正△ABG，△BCD的外接圓與AD交于點P，此時C、P、G共線，從△ABC內(nèi)一點到A、B、C三個頂點的距離之和最小的點恰為點P（已經(jīng)被他人證明）．設(shè)BC=3，CA=4，∠BCA=60°．求PA+PB+PC的值．
 

Answer 1

分析：（1）利用全等三角形的判定SAS得出即可；
（2）分別用AB、BC和AC表示出 S_△BCD，S_△ABG，S_△ACK，然后根據(jù)AC²=BC²+BA²即可得出S_△BCD，S_△ABG，S_△ACK的關(guān)系；
（3）首先證明△BPC≌△BED（AAS），進(jìn)而得出QC的長，再利用勾股定理得出AD的長．

解答：解：（1）利用BC=EC，∠KCB=∠ECA，AC=CK，得出△CBK≌△CEA（SAS）；
故答案為：SAS；

（2）∵S_△ABG=

1

2

GE×AB=

1

2

×

3

2

AB×AB=

3

4

AB²，S_△BCD=

1

2

BC•DM=

1

2

×

3

2

BC×BC=

3

4

BC²，
S_△ACK=

1

2

AC×NK=

1

2

×

3

2

AC×AC=

3

4

AC²，
∴S_△BCD+S_△ABG=S_△ACK，
故答案為：S_△BCD+S_△ABG=S_△ACK；

（3）在PD上截取PE=PB，連BE，延長AC作DQ⊥AC于點Q，
∵△BCD為正三角形，BD=BC=CD=3．
∴∠BPD=60°，∠CPD=60°．
∴△PBE為正三角形
∴PB=PC=BE，∴∠BEP=60°
∴∠BED=180°-∠BEP=180°-60°=120°．
∠BPC=∠BPD+∠DPC=60°+60°=120°．
在△BPC和△BED中，
∵

∠BDP=∠BCP ∠DEB=∠BPC BC=BD

∴△BPC≌△BED（AAS），
∴PC=DE，
∴PA+PB+PC=PA+PE+ED=AD，
在△CDA中，CD=3，CA=4，∵∠DCA=∠DCB+∠BCA=120°．
∴∠DCQ=60°，
∴∠QDC=30°，
∴CQ=

1

2

CD=

1

2

×3=

3

2

，QD=

3 3

2

，
∴AQ=4+

3

2

=

11

2

，
∴AD=

DQ2+AQ2

=

37

．
即PA+PB+PC=

37

．

點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用等知識，利用銳角三角函數(shù)求出QC的長進(jìn)而利用勾股定理得出是解題關(guān)鍵．