Question

【題目】如圖①，直線交于x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)C，過A、C兩點(diǎn)的拋物線F1交x軸于另一點(diǎn)B（1，0）．

（1）求拋物線F1所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)M是拋物線F1位于第二象限圖象上的一點(diǎn)，設(shè)四邊形MAOC和△BOC的面積分別為S四邊形MAOC和S△BOC，記S=S四邊形MAOC﹣S△BOC，求S最大時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及S的最大值；

（3）如圖②，將拋物線F1沿y軸翻折并“復(fù)制”得到拋物線F2，點(diǎn)A、B與（2）中所求的點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′、M′，過點(diǎn)M′作M′E⊥x軸于點(diǎn)E，交直線A′C于點(diǎn)D，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得以A′、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△AB′C相似？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)a=時(shí)，S有最大值，最大值為，此時(shí)，M（，5）；（3）P（2，0）或（，0）．

【解析】

試題分析：（1）利用一次函數(shù)的解析式求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，然后再利用B點(diǎn)坐標(biāo)即可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）由于M在拋物線F1上，所以可設(shè)M（a，），然后分別計(jì)算S四邊形MAOC和S△BOC，過點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D，則S四邊形MAOC的值等于△ADM的面積與梯形DOCM的面積之和．

（3）由于沒有說明點(diǎn)P的具體位置，所以需要將點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論，當(dāng)點(diǎn)P在A′的右邊時(shí)，此情況是不存在；當(dāng)點(diǎn)P在A′的左邊時(shí)，此時(shí)∠DA′P=∠CAB′，若以A′、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△AB′C相似，則分為以下兩種情況進(jìn)行討論：①；②．

試題解析：（1）令y=0代入，∴x=﹣3，A（﹣3，0），令x=0，代入，∴y=4，∴C（0，4），設(shè)拋物線F1的解析式為：y=a（x+3）（x﹣1），把C（0，4）代入上式得，a=，∴；

（2）如圖①，設(shè)點(diǎn)M（a，），其中﹣3＜a＜0．

∵B（1，0），C（0，4），∴OB=1，OC=4，∴S△BOC=OBOC=2，過點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D，∴MD=，AD=a+3，OD=﹣a，∴S四邊形MAOC=ADMD+（MD+OC）OD=ADMD+ODMD+ODOC=MD（AD+OD）+ ODOC=MDOA+ODOC

==

∴S=S四邊形MAOC﹣S△BOC===

∴當(dāng)a=時(shí)，S有最大值，最大值為，此時(shí)，M（，5）；

（3）如圖②，由題意知：M′（，5），B′（﹣1，0），A′（3，0），∴AB′=2．

設(shè)直線A′C的解析式為：y=kx+b，把A′（3，0）和C（0，4）代入y=kx+b，得：，∴，∴，令x=代入，∴y=2，∴D（，2）．由勾股定理分別可求得：AC=5，DA′=．設(shè)P（m，0），①當(dāng)m＜3時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P在A′的左邊，∴∠DA′P=∠CAB′，當(dāng)時(shí)，△DA′P∽△CAB′，此時(shí)，=（3﹣m），解得：m=2，∴P（2，0）；

當(dāng)時(shí)，△DA′P∽△B′AC，此時(shí)，=（3﹣m），解得m=，∴P（，0）

②當(dāng)m＞3時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)P在A′右邊，由于∠CB′O≠∠DA′E，∴∠AB′C≠∠DA′P，∴此情況，△DA′P與△B′AC不能相似．

綜上所述，當(dāng)以A′、D、P為頂點(diǎn)的三角形與△AB′C相似時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）或（，0）．