Question

【題目】如圖①，將直角梯形放在平面直角坐標(biāo)系中，已知，點(diǎn)在上，且，連結(jié)．

（1）求證：；

（2）如圖②，過點(diǎn)作軸于，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)和．

①當(dāng)的周長最短時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

②如果點(diǎn)在軸上方，且滿足，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②或8

【解析】

（1）先由已知條件及勾股定理求出AE=4，AB=，得到，又∠OAB=∠BAE，根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似證明△OAB∽△BAE，得出∠AOB=∠ABE，再由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得出∠OBC=∠AOB，從而證明∠OBC=∠ABE；

（2）①由于CE為定長，所以當(dāng)PC+PE最短時(shí)，△PCE的周長最短，而E與A關(guān)于BD對(duì)稱，故連接AC，交BD于P，即當(dāng)點(diǎn)C、P、A三點(diǎn)共線時(shí)，△PCE的周長最短．由PD∥OC，得出，求出PD的值，從而得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②由于點(diǎn)P在x軸上方，BD=4，所以分兩種情況：0＜PD≤4與PD＞4．設(shè)PD=t，先用含t的代數(shù)式分別表示S△CEP與S△ABP，再根據(jù)S△CEP：S△ABP=2：1，即可求出DP的長．

解：（1）由題意可得：

∵OC=4，BC=3，∠OCB=90°，

∴OB=5．

∵OA=5，OE=1，

∴AE=4，AB=，

∵，

∴．

∵，

∴，

．

∵，

∴，

∴.

（2）①∵BD⊥x軸，ED=AD=2，

∴E與A關(guān)于BD對(duì)稱，

當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，的周長最短．

∵，

∴，即

∴

∴．

②設(shè)，

當(dāng)時(shí)，如圖：

∵梯，

；

又∵．

∴，

∴；

當(dāng)時(shí)，如圖：

∵，，

∴

．

．

∴所求DP的長為或8.