Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，為軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，其中滿足方程．

（1）求點(diǎn)、的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)為軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，且的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在上是否存在一點(diǎn)，使的面積等于的面積的一半，若存在，求出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，4）；（2）點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-4）；（3）存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為（，0）或（-，0）．

【解析】

（1）解方程可求出b的值，即可得A、B坐標(biāo)；

（2）根據(jù)A、B坐標(biāo)可得OA、OB的長(zhǎng)，利用三角形面積公式可求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)C在y軸負(fù)半軸可得OC的長(zhǎng)，可得C點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）利用三角形面積公式可求出OP的長(zhǎng)，分點(diǎn)P在原點(diǎn)左邊和右邊兩種情況，求出OP的坐標(biāo)即可．

（1）∵，

∴b=1，

∵，，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，4）．

（2）如圖，∵A（-3，0），B（0，4），

∴OA=3，OB=4，

∵△ABC的面積為12，

∴BC·OA=12，即×3×BC=12，

解得：BC=8，

∵點(diǎn)為軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，

∴OC=BC-OB=8-4=4，

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，-4）．

（3）如圖，∵的面積等于的面積的一半，△ABC的面積為12，

∴△PBC的面積為6，

∴BC·OP=6，即×8×OP=6，

解得：OP=，

當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)左邊時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（-，0），

當(dāng)點(diǎn)P在原點(diǎn)右邊時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為（，0），

∴存在一點(diǎn)，使的面積等于的面積的一半，點(diǎn)P坐標(biāo)為（，0）或（-，0）．