Question

【題目】如圖，P是拋物線y=2（x﹣2）2對稱軸上的一個動點，直線x=t平行y軸，分別與y=x、拋物線交于點A，B．若△ABP是以點A或點B為直角頂點的等腰直角三角形，求滿足條件的t的值，則t= ．

Answer 1

【答案】 或1或3
【解析】解：∵y=2（x﹣2）2
∴y=2x2﹣8x+8，
∵直線x=t分別與直線y=x、拋物線y=2x2﹣8x+8交于點A、B兩點，
∴設A（t，t），B（t，2t2﹣8t+8），AB=|t﹣（2t2﹣8t+8）|=|2t2﹣9t+8|，
①當△ABP是以點A為直角頂點的等腰直角三角形時，∠PAB=90°，此時PA=AB=|t﹣2|，
即|2t2﹣9t+8|=|t﹣2|，
∴2t2﹣9t+8=t﹣2，或2t2﹣9t+8=2﹣t，
解得t= 或1或3；
②當△ABP是以點B為直角頂點的等腰直角三角形時，則∠PBA=90°，此時PB=AB=|t﹣2|，結果同上．
故答案為： 或1或3．
依題意，y=2x2﹣8x+8，設A（t，t），B（t，2t2﹣8t+8），則AB=|t﹣（2t2﹣8t+8）|=|2t2﹣9t+8|，當△ABP是以點A為直角頂點的等腰直角三角形時，則∠PAB=90°，PA=AB=|t﹣2|；當△ABP是以點B為直角頂點的等腰直角三角形時，則∠PBA=90°，PB=AB=|t﹣2|；分別列方程求k的值．