Question

已知拋物線．

1.試說明：無論m為何實數，該拋物線與x軸總有兩個不同的交點；

2.如圖，當拋物線的對稱軸為直線x=3時，拋物線的頂點為點C，直線y=x﹣1與拋物線交于A、B兩點，并與它的對稱軸交于點D．

①拋物線上是否存在一點P使得四邊形ACPD是正方形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；

②平移直線CD，交直線AB于點M，交拋物線于點N，通過怎樣的平移能使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？（直接寫出平移的方法，不要說明理由）

 

Answer 1

 

1.該拋物線與x軸總有兩個不同的交點

2.點P坐標為（5，0）;平行四邊形

解析:解：⑴ 該函數的判別式=m²﹣4m+7=（m﹣2）²+3>0

∴該拋物線與x軸總有兩個不同的交點；……………………………………3分

⑵ 由直線y=x﹣1與拋物線交于A、B兩點，∴點A（1，0）代入二次函數式則m=3

∴二次函數式為：             ……………………………………4分

當拋物線的對稱軸為直線x=3時，則y=﹣2，

即頂點C為（3，﹣2），……………………………………5分

把x=3代入直線y=x﹣1則y=2，

即點D（3，2）        ……………………………………6分

設點P（x，），如右圖所示：

由題意知： PH=CH，（或PH=DH）

則

解得：x=3或x=5       ……………………………………8分

則點P（3，2）（與點D重合舍去）或（5，0）

經檢驗點（5，0）符合，

所以點P坐標為（5，0）；……………………………………9分

(注：其它方法酌情給分)

②把直線CD向右平移1+個單位或2個單位，向左平移﹣1個單位，能使得以C、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形．