Question

有一人患了流感，經過兩輪傳染后共有144人患了流感，問：
（1）每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？
（2）按照這樣的速度，三輪傳染后有多少人患流感？
（3）設前n輪傳染的平均數為S₁，前n-1輪傳染的平均數為S₂，是否存在一個正整數K，使S₁=KS₂？若存在求出所有K的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數中．設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則第一輪傳染了x個人，第二輪作為傳染源的是（x+1）人，則傳染x（x+1）人，依題意列方程：1+x+x（1+x）=144，解方程即可求解．
（2）根據（1）中所求數據，進而表示出經過三輪傳染后患上流感的人數．
（3）設存在正整數k，然后分別表示出S₁和S₂，然后求得其比值為正整數即可解答．

解答：解：（1）設每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，依題意得1+x+x（1+x）=144，即（1+x）²=144
解方程得x₁=11，x₂=-13（舍去）
答：每輪傳染中平均一人傳染了11人．
（2）經過三輪傳染后患上流感的人數為：144+11×144=1728（人），
答：經過三輪傳染后患上流感的人數為1728人．
（3）
∵根據題意得：第一輪有12=12¹人患感冒，
第二輪有144=12²人患感冒，
第三輪有1728=12³人患感冒，
…
∴第n輪共有12ⁿ人患感冒，第n-1輪共有12^n-1人患感冒，
∴S₁=

12n

n

，
S₂=

12n-1

n

∴k=

S1

S2

=

12n

12n-1

=12，
∴在一個正整數k=12，使S₁=KS₂．

點評：本題考查了一元二次方程的應用，關鍵是看到兩輪傳染，從而可列方程求解．