Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x軸于點(diǎn)A，B，交y軸于點(diǎn)C，設(shè)過點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)的圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D．
（1）如圖1，已知點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（8，0），（0，﹣4）；
①求此拋物線的表達(dá)式與點(diǎn)D的坐標(biāo)；
②若點(diǎn)M為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，求△BDM面積的最大值；

（2）如圖2，若a=1，求證：無論b，c取何值，點(diǎn)D均為定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（﹣2，0），B（8，0），C（0，﹣4），

∴ ，解得 ，

∴拋物線的解析式為：y= x2﹣ x﹣4；

∵OA=2，OB=8，OC=4，∴AB=10．

如答圖1，連接AC、BC．

由勾股定理得：AC= ，BC= ．

∵AC2+BC2=AB2=100，

∴∠ACB=90°，

∴AB為圓的直徑．

由垂徑定理可知，點(diǎn)C、D關(guān)于直徑AB對(duì)稱，

∴D（0，4）．

解法一：

設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b，∵B（8，0），D（0，4），

∴ ，解得 ，

∴直線BD解析式為：y=﹣ x+4．

設(shè)M（x， x2﹣ x﹣4），

如答圖2﹣1，過點(diǎn)M作ME∥y軸，交BD于點(diǎn)E，則E（x，﹣ x+4）．

∴ME=（﹣ x+4）﹣（ x2﹣ x﹣4）=﹣ x2+x+8．

∴S△BDM=S△MED+S△MEB= ME（xE﹣xD）+ ME（xB﹣xE）= ME（xB﹣xD）=4ME，

∴S△BDM=4（﹣ x2+x+8）=﹣x2+4x+32=﹣（x﹣2）2+36．

∴當(dāng)x=2時(shí)，△BDM的面積有最大值為36；

解法二：

如答圖2﹣2，過M作MN⊥y軸于點(diǎn)N．

設(shè)M（m， m2﹣ m﹣4），

∵S△OBD= OBOD= =16，

S梯形OBMN= （MN+OB）ON

= （m+8）[﹣（ m2﹣ m﹣4）]

=﹣ m（ m2﹣ m﹣4）﹣4（ m2﹣ m﹣4），

S△MND= MNDN

= m[4﹣（ m2﹣ m﹣4）]

=2m﹣ m（ m2﹣ m﹣4），

∴S△BDM=S△OBD+S梯形OBMN﹣S△MND

=16﹣ m（ m2﹣ m﹣4）﹣4（ m2﹣ m﹣4）﹣2m+ m（ m2﹣ m﹣4）

=16﹣4（ m2﹣ m﹣4）﹣2m

=﹣m2+4m+32

=﹣（m﹣2）2+36；

∴當(dāng)m=2時(shí)，△BDM的面積有最大值為36．

（2）

解：如答圖3，連接AD、BC．

由圓周角定理得：∠ADO=∠CBO，∠DAO=∠BCO，

∴△AOD∽△COB，

∴ = ，

設(shè)A（x1，0），B（x2，0），

∵已知拋物線y=x2+bx+c（c＜0），

∵OC=﹣c，x1x2=c，

∴ = ，

∴OD= =1，

∴無論b，c取何值，點(diǎn)D均為定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)D（0，1）．

【解析】（1）①利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；利用勾股定理的逆定理證明∠ACB=90°，由圓周角定理得AB為圓的直徑，再由垂徑定理知點(diǎn)C、D關(guān)于AB對(duì)稱，由此得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；②求出△BDM面積的表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值．解答中提供了兩種解法，請(qǐng)分析研究；（2）根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、根與系數(shù)的關(guān)系、相似三角形求解．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．