【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0,c<0)交x軸于點(diǎn)A,B,交y軸于點(diǎn)C,設(shè)過點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)的圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D.
(1)如圖1,已知點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(﹣2,0),(8,0),(0,﹣4);
①求此拋物線的表達(dá)式與點(diǎn)D的坐標(biāo);
②若點(diǎn)M為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),且位于第四象限,求△BDM面積的最大值;
(2)如圖2,若a=1,求證:無論b,c取何值,點(diǎn)D均為定點(diǎn),求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(﹣2,0),B(8,0),C(0,﹣4),
∴ ,解得 ,
∴拋物線的解析式為:y= x2﹣ x﹣4;
∵OA=2,OB=8,OC=4,∴AB=10.
如答圖1,連接AC、BC.
由勾股定理得:AC= ,BC= .
∵AC2+BC2=AB2=100,
∴∠ACB=90°,
∴AB為圓的直徑.
由垂徑定理可知,點(diǎn)C、D關(guān)于直徑AB對(duì)稱,
∴D(0,4).
解法一:
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b,∵B(8,0),D(0,4),
∴ ,解得 ,
∴直線BD解析式為:y=﹣ x+4.
設(shè)M(x, x2﹣ x﹣4),
如答圖2﹣1,過點(diǎn)M作ME∥y軸,交BD于點(diǎn)E,則E(x,﹣ x+4).
∴ME=(﹣ x+4)﹣( x2﹣ x﹣4)=﹣ x2+x+8.
∴S△BDM=S△MED+S△MEB= ME(xE﹣xD)+ ME(xB﹣xE)= ME(xB﹣xD)=4ME,
∴S△BDM=4(﹣ x2+x+8)=﹣x2+4x+32=﹣(x﹣2)2+36.
∴當(dāng)x=2時(shí),△BDM的面積有最大值為36;
解法二:
如答圖2﹣2,過M作MN⊥y軸于點(diǎn)N.
設(shè)M(m, m2﹣ m﹣4),
∵S△OBD= OBOD= =16,
S梯形OBMN= (MN+OB)ON
= (m+8)[﹣( m2﹣ m﹣4)]
=﹣ m( m2﹣ m﹣4)﹣4( m2﹣ m﹣4),
S△MND= MNDN
= m[4﹣( m2﹣ m﹣4)]
=2m﹣ m( m2﹣ m﹣4),
∴S△BDM=S△OBD+S梯形OBMN﹣S△MND
=16﹣ m( m2﹣ m﹣4)﹣4( m2﹣
=16﹣4( m2﹣ m﹣4)﹣2m
=﹣m2+4m+32
=﹣(m﹣2)2+36;
∴當(dāng)m=2時(shí),△BDM的面積有最大值為36.
(2)
解:如答圖3,連接AD、BC.
由圓周角定理得:∠ADO=∠CBO,∠DAO=∠BCO,
∴△AOD∽△COB,
∴ = ,
設(shè)A(x1,0),B(x2,0),
∵已知拋物線y=x2+bx+c(c<0),
∵OC=﹣c,x1x2=c,
∴ = ,
∴OD= =1,
∴無論b,c取何值,點(diǎn)D均為定點(diǎn),該定點(diǎn)坐標(biāo)D(0,1).
【解析】(1)①利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式;利用勾股定理的逆定理證明∠ACB=90°,由圓周角定理得AB為圓的直徑,再由垂徑定理知點(diǎn)C、D關(guān)于AB對(duì)稱,由此得出點(diǎn)D的坐標(biāo);②求出△BDM面積的表達(dá)式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最值.解答中提供了兩種解法,請(qǐng)分析研究;(2)根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、根與系數(shù)的關(guān)系、相似三角形求解.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減小才能正確解答此題.
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【題目】如圖,△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同側(cè)作正△ABD、正△APE和正△BPC,則四邊形PCDE面積的最大值是 .
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【題目】鹽城電視塔是我市標(biāo)志性建筑之一.如圖,在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)中,老師要求測電視塔的高度AB.小明在D處用高1.5m的測角儀CD,測得電視塔頂端A的仰角為30°,然后向電視塔前進(jìn)224m到達(dá)E處,又測得電視塔頂端A的仰角為60°.求電視塔的高度AB.( 取1.73,結(jié)果精確到0.1m)
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【題目】如圖,AB是⊙O的弦,OP⊥OA交AB于點(diǎn)P,過點(diǎn)B的直線交OP的延長線于點(diǎn)C,且CP=CB.
(1)求證:BC是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為 ,OP=1,求BC的長.
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【題目】為了解“數(shù)學(xué)思想作為對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幫助有多大?”一研究員隨機(jī)抽取了一定數(shù)量的高校大一學(xué)生進(jìn)行了問卷調(diào)查,并將調(diào)查得到的數(shù)據(jù)用下面的扇形圖和下表來表示(圖、表都沒制作完成).
選項(xiàng) | 幫助很大 | 幫助較大 | 幫助不大 | 幾乎沒有幫助 |
人數(shù) | a | 543 | 269 | b |
根據(jù)圖、表提供的信息.
(1)請(qǐng)問:這次共有多少名學(xué)生參與了問卷調(diào)查?
(2)算出表中a、b的值. (注:計(jì)算中涉及到的“人數(shù)”均精確到1)
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為3cm,E為CD邊上一點(diǎn),∠DAE=30°,M為AE的中點(diǎn),過點(diǎn)M作直線分別與AD、BC相交于點(diǎn)P、Q.若PQ=AE,則AP等于cm.
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【題目】如圖,已知函數(shù)y= (x>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,2),過點(diǎn)A作AC∥y軸,AC=1(點(diǎn)C位于點(diǎn)A的下方),過點(diǎn)C作CD∥x軸,與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)D,過點(diǎn)B作BE⊥CD,垂足E在線段CD上,連接OC、OD.
(1)求△OCD的面積;
(2)當(dāng)BE= AC時(shí),求CE的長.
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【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+c過點(diǎn)(﹣2,2),(4,5),過定點(diǎn)F(0,2)的直線l:y=kx+2與拋物線交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè),過點(diǎn)B作x軸的垂線,垂足為C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)B在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),判斷線段BF與BC的數(shù)量關(guān)系(>、<、=),并證明你的判斷;
(3)P為y軸上一點(diǎn),以B、C、F、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,設(shè)點(diǎn)P(0,m),求自然數(shù)m的值;
(4)若k=1,在直線l下方的拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得△QBF的面積最大?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及△QBF的最大面積;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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