【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+c過(guò)點(diǎn)(﹣2,2),(4,5),過(guò)定點(diǎn)F(0,2)的直線l:y=kx+2與拋物線交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè),過(guò)點(diǎn)B作x軸的垂線,垂足為C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)點(diǎn)B在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí),判斷線段BF與BC的數(shù)量關(guān)系(>、<、=),并證明你的判斷;
(3)P為y軸上一點(diǎn),以B、C、F、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,設(shè)點(diǎn)P(0,m),求自然數(shù)m的值;
(4)若k=1,在直線l下方的拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得△QBF的面積最大?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及△QBF的最大面積;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:把點(diǎn)(﹣2,2),(4,5)代入y=ax2+c得 ,解得 ,
所以拋物線解析式為y= x2+1;
(2)
解:BF=BC.
理由如下:
設(shè)B(x, x2+1),而F(0,2),
∴BF2=x2+( x2+1﹣2)2=x2+( x2﹣1)2=( x2+1)2,
∴BF= x2+1,
∵BC⊥x軸,
∴BC= x2+1,
∴BF=BC;
(3)
解:如圖1,
m為自然數(shù),則點(diǎn)P在F點(diǎn)上方,
∵以B、C、F、P為頂點(diǎn)的四邊形是菱形,
∴CB=CF=PF,
而CB=FB,
∴BC=CF=BF,
∴△BCF為等邊三角形,
∴∠BCF=60°,
∴∠OCF=30°,
在Rt△OCF中,CF=2OF=4,
∴PF=CF=4,
∴P(0,6),
即自然數(shù)m的值為6;
(4)
解:作QE∥y軸交AB于E,如圖2,
當(dāng)k=1時(shí),一次函數(shù)解析式為y=x+2,
解方程組 得 或 ,則B(1+ ,3+ ),
設(shè)Q(t, t2+1),則E(t,t+2),
∴EQ=t+2﹣( t2+1)=﹣ t2+t+1,
∴S△QBF=S△EQF+S△EQB= (1+ )EQ= (1+ ))(﹣ t2+t+1)=﹣ (t﹣2)2+ +1,
當(dāng)t=2時(shí),S△QBF有最大值,最大值為 +1,此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2).
【解析】(1)利用待定系數(shù)法求拋物線解析式;(2)設(shè)B(x, x2+1),而F(0,2),利用兩點(diǎn)間的距離公式得到BF2=x2+( x2+1﹣2)2=,再利用配方法可得到BF= x2+1,由于BC= x2+1,所以BF=BC;(3)如圖1,利用菱形的性質(zhì)得到CB=CF=PF,加上CB=FB,則可判斷△BCF為等邊三角形,所以∠BCF=60°,則∠OCF=30°,于是可計(jì)算出CF=4,所以PF=CF=4,從而得到自然數(shù)m的值為6;(4)作QE∥y軸交AB于E,如圖2,先解方程組 得B(1+ ,3+ ),設(shè)Q(t, t2+1),則E(t,t+2),則EQ=﹣ t2+t+1,則S△QBF=S△EQF+S△EQB= (1+ )EQ= (1+ ))(﹣ t2+t+1),然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0,c<0)交x軸于點(diǎn)A,B,交y軸于點(diǎn)C,設(shè)過(guò)點(diǎn)A,B,C三點(diǎn)的圓與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為D.
(1)如圖1,已知點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為(﹣2,0),(8,0),(0,﹣4);
①求此拋物線的表達(dá)式與點(diǎn)D的坐標(biāo);
②若點(diǎn)M為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),且位于第四象限,求△BDM面積的最大值;
(2)如圖2,若a=1,求證:無(wú)論b,c取何值,點(diǎn)D均為定點(diǎn),求出該定點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(—5,1),B(—1,1), C(—1,6),D(—5,4),請(qǐng)作出四邊形ABCD關(guān)于x軸及y軸的對(duì)稱圖形,并寫(xiě)出坐標(biāo)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,點(diǎn)D與點(diǎn)B在AC同側(cè),∠DAC>∠BAC,且DA=DC,過(guò)點(diǎn)B作BE∥DA交DC于點(diǎn)E,M為AB的中點(diǎn),連接MD,ME.
(1)如圖1,當(dāng)∠ADC=90°時(shí),線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系是;
(2)如圖2,當(dāng)∠ADC=60°時(shí),試探究線段MD與ME的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)如圖3,當(dāng)∠ADC=α?xí)r,求 的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校決定加強(qiáng)羽毛球、籃球、乒乓球、排球、足球五項(xiàng)球類運(yùn)動(dòng),每位同學(xué)必須且只能選擇一項(xiàng)球類運(yùn)動(dòng),對(duì)該校學(xué)生隨機(jī)抽取10%進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計(jì)圖:
運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目 | 頻數(shù)(人數(shù)) |
羽毛球 | 30 |
籃球 | a |
乒乓球 | 36 |
排球 | b |
足球 | 12 |
請(qǐng)根據(jù)以上圖表信息解答下列問(wèn)題:
(1)頻數(shù)分布表中的a= , b=;
(2)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“排球”所在的扇形的圓心角為度;
(3)全校有多少名學(xué)生選擇參加乒乓球運(yùn)動(dòng)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=﹣2,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在(﹣3,0)和(﹣4,0)之間,其部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①4a﹣b=0;②c<0;③﹣3a+c>0;④4a﹣2b>at2+bt(t為實(shí)數(shù));⑤點(diǎn)(﹣ ,y1),(﹣ ,y2),(﹣ ,y3)是該拋物線上的點(diǎn),則y1<y2<y3 , 正確的個(gè)數(shù)有( )
A.4個(gè)
B.3個(gè)
C.2個(gè)
D.1個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=AD,DG=DC,E,F(xiàn)分別是BG,AC的中點(diǎn).
(1)求證:DE=DF,DE⊥DF;
(2)連接EF,若AC=10,求EF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】本校為了解九年級(jí)男同學(xué)的體育考試準(zhǔn)備情況,隨機(jī)抽取部分男同學(xué)進(jìn)行了1000米跑步測(cè)試.按照成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個(gè)等級(jí),學(xué)校繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
(1)根據(jù)給出的信息,補(bǔ)全兩幅統(tǒng)計(jì)圖;
(2)該校九年級(jí)有600名男生,請(qǐng)估計(jì)成績(jī)未達(dá)到良好有多少名?
(3)某班甲、乙兩位成績(jī)優(yōu)秀的同學(xué)被選中參加即將舉行的學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)1000米比賽.預(yù)賽分別為A、B、C三組進(jìn)行,選手由抽簽確定分組.甲、乙兩人恰好分在同一組的概率是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等邊三角形ABC中,BC=8,點(diǎn)D是邊AB點(diǎn),且BD=3,點(diǎn)P是邊BC上一動(dòng)點(diǎn),作 °,PE交邊AC于點(diǎn)E,當(dāng)CE=時(shí),滿足條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)。
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