Question

【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2.動點P以每秒2個單位長度的速度從點A出發(fā),沿A→C→B的方向向終點B運動(點P不與△ABC的頂點重合).點P關(guān)于點C的對稱點為點D,過點P作PQ⊥AB于點Q,以PD、PQ為邊作□PDEQ.設(shè)□PDEQ與△ABC.重疊部分的面積為S,點P的運動時間為t(s)

(1)當(dāng)點P在AC上運動時,用含t的代數(shù)式表示PD的長;

(2)當(dāng)點E落在△ABC的直角邊上時,求t的值;

(3)當(dāng)□PDEQ與△ABC重疊部分的圖形是四邊形時,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式.

Answer 1

【答案】（1）4-4t；（2）或；（3）

【解析】

（1）由題意得AP=2t，得到PC=2-2t，再根據(jù)對稱性即可求解；

（2）根據(jù)題意作圖分情況討論，利用三角函數(shù)及三角形的關(guān)系即可列式求解；

（3）根據(jù)題意分情況討論，利用割補法即可求解.

（1）∵AC=2,由題意得AP=2t，

∴PC=2-2t，

∵P、D關(guān)于C對稱，

∴PD=2PC=4-4t;

（2）如圖①，當(dāng)P在BC邊上時，PC=2t-2，∴PD=4t-4，

∵四邊形PDEQ為平行四邊形，

∴QE=PD=4t-4,QE∥PD，

∵∠ACB=90°，AC=BC=2,

∴∠A=∠B=45°，∠QEA=90°，

∴AQ==（4t-4）

∵BC=2,∴BP=4-2t,

∴QB=BP·cos45°=（2-t）

∵AB=

∴AQ+QB=（4t-4）+（2-t）=2

解得t=；

如圖②，當(dāng)P在AD邊上時，由（1）得PD=4-4t，

∴QE=PD=4-4t,

∵∠B=45°，

QB=（4-4t）

∵AP=2t，

∴AQ=t,

∵AB=2

∴t+（4-4t）=2

解得t=；

綜上，t=或；

（3）如圖③，由（2）得當(dāng)，P在BC上時，設(shè)QE與AC交于M，

∵PC=2t-2，

∴BP=2-(2t-2)=4-2t，

∴BQ=（2-t）

∴AQ=AB-QB=2-（2-t）=t

∴AM=AQ·cos45°=t,

∴S△AMQ=，S△BQP=BQ×QP=4-4t+,

∴S四邊形QMCP= S△ACB- S△AMQ- S△BQP=；

如圖④，當(dāng)時，P在AC上時，設(shè)QE與BC交于M，

∵AQ=t

∴BQ=2-t

∴BM=BQ·cos45°=2-t,

∴S△QMB=，S△AQP=,

∴S四邊形QMCP= S△ACB- S△QMB- S△AQP=

綜上，，