Question

如圖，AC是⊙O的直徑，BF是⊙O的弦，BF⊥AC于點(diǎn)H，在BF上截取KB＝AB，AK的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作PD∥AB，PD與AC、BF的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)D、P.

（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）求證；EK²＝FK·PK；
（3）若AK＝，tan∠D＝，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）連接OE，根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得∠OEA=∠OAE，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠PEA=∠BAE，由KB＝AB可得∠AKB＝∠BAE，即得∠PEA＝∠AKB，再結(jié)合BF⊥AC即可證得結(jié)論；（2）連接EF，則∠EFB=∠BAE，又∠PEA＝∠BAE，即得∠EFK=∠PEK，證得△EFK∽△PEK，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（3）

試題分析：（1）連接OE，根據(jù)圓的基本性質(zhì)可得∠OEA=∠OAE，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠PEA=∠BAE，由KB＝AB可得∠AKB＝∠BAE，即得∠PEA＝∠AKB，再結(jié)合BF⊥AC即可證得結(jié)論；
（2）連接EF，則∠EFB=∠BAE，又∠PEA＝∠BAE，即得∠EFK=∠PEK，證得△EFK∽△PEK，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論；
（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAH＝∠D，即得tan∠BAH＝tan∠D＝，由BF⊥AC，H為垂足，且KB＝AB， 則在Rt△ABH和Rt△AKH中，設(shè)AH＝3n，則BH＝4n，AB＝5n，KH=n，再根據(jù)勾股定理即可列方程求得n，連接OB，并設(shè)⊙O半徑為R，則在Rt△OBH中根據(jù)勾股定理即可列方程求得結(jié)果.
（1）連接OE，
∵OE＝OA，
∴∠OEA=∠OAE
∵PD∥AB，
∴∠PEA=∠BAE，
∵KB＝AB，
∴∠AKB＝∠BAE，
∴∠PEA＝∠AKB，
∵BF⊥AC，H為垂足，
∴∠OAE＋∠AKB＝90°
∴∠OEA+∠PEA＝90°，即OE⊥PD，
∵OE是⊙O半徑，
∴PD是⊙O的切線；
（2）連接EF，則∠EFB=∠BAE，

又∠PEA＝∠BAE，
∴∠EFK=∠PEK，
又∠EKF=∠PKE，
∴△EFK∽△PEK，
∴
（3）∵AB∥PD，
∴∠BAH＝∠D，
∴tan∠BAH＝tan∠D＝，
∵BF⊥AC，H為垂足，且KB＝AB，
∴在Rt△ABH和Rt△AKH中，設(shè)AH＝3n，
則BH＝4n，AB＝5n，KH=n，
∴由AH²+KH²＝AK²，即，解得
∴AH＝，BH＝
連接OB，并設(shè)⊙O半徑為R，則在Rt△OBH中，，
由，解得：
在Rt△ODH中，，     
∴.
點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題難度較大，在中考中比較常見(jiàn)，一般在壓軸題中出現(xiàn)，需特別注意.