Question

【題目】如圖，已知一次函數(shù)y=x+b的圖象與反比例函數(shù)y=（x＜0）的圖象交于點(diǎn)A（﹣1，2）和點(diǎn)B，點(diǎn)C在y軸上．

（1）當(dāng)△ABC的周長最小時，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)x+b＜時，請直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，）；（2）當(dāng)x+＜﹣時，x的取值范圍為x＜﹣4或﹣1＜x＜0．

【解析】

試題分析：（1）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交y軸于點(diǎn)C，此時點(diǎn)C即是所求．由點(diǎn)A為一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)，利用待定系數(shù)法和反比例函數(shù)圖象點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，解方程組即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，設(shè)出直線A′B的解析式為y=mx+n，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線A′B的解析式，令直線A′B解析式中x為0，求出y的值，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下關(guān)系結(jié)合點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，即可得出不等式的解集．

試題解析：（1）作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′，連接A′B交y軸于點(diǎn)C，此時點(diǎn)C即是所求，如圖所示．

∵反比例函數(shù)y=（x＜0）的圖象過點(diǎn)A（﹣1，2），

∴k=﹣1×2=﹣2，

∴反比例函數(shù)解析式為y=﹣（x＜0）；

∵一次函數(shù)y=x+b的圖象過點(diǎn)A（﹣1，2），

∴2=﹣+b，解得：b=，

∴一次函數(shù)解析式為y=x+．

聯(lián)立一次函數(shù)解析式與反比例函數(shù)解析式成方程組：，

解得：，或，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，2）、點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣4，）．

∵點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱，

∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（1，2），

設(shè)直線A′B的解析式為y=mx+n，

則有，解得：，

∴直線A′B的解析式為y=x+．

令y=x+中x=0，則y=，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，）．

（2）觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)x＜﹣4或﹣1＜x＜0時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方，

∴當(dāng)x+＜﹣時，x的取值范圍為x＜﹣4或﹣1＜x＜0．