Question

【題目】如圖，已知一次函數(shù)y=x+b的圖象與反比例函數(shù)y=（x＜0）的圖象交于點A（﹣1，2）和點B，點C在y軸上．

（1）當△ABC的周長最小時，求點C的坐標；

（2）當x+b＜時，請直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）點C的坐標為（0，）；（2）當x+＜﹣時，x的取值范圍為x＜﹣4或﹣1＜x＜0．

【解析】

試題分析：（1）作點A關(guān)于y軸的對稱點A′，連接A′B交y軸于點C，此時點C即是所求．由點A為一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點，利用待定系數(shù)法和反比例函數(shù)圖象點的坐標特征即可求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式，聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組，解方程組即可求出點A、B的坐標，再根據(jù)點A′與點A關(guān)于y軸對稱，求出點A′的坐標，設(shè)出直線A′B的解析式為y=mx+n，結(jié)合點的坐標利用待定系數(shù)法即可求出直線A′B的解析式，令直線A′B解析式中x為0，求出y的值，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下關(guān)系結(jié)合點A、B的坐標，即可得出不等式的解集．

試題解析：（1）作點A關(guān)于y軸的對稱點A′，連接A′B交y軸于點C，此時點C即是所求，如圖所示．

∵反比例函數(shù)y=（x＜0）的圖象過點A（﹣1，2），

∴k=﹣1×2=﹣2，

∴反比例函數(shù)解析式為y=﹣（x＜0）；

∵一次函數(shù)y=x+b的圖象過點A（﹣1，2），

∴2=﹣+b，解得：b=，

∴一次函數(shù)解析式為y=x+．

聯(lián)立一次函數(shù)解析式與反比例函數(shù)解析式成方程組：，

解得：，或，

∴點A的坐標為（﹣1，2）、點B的坐標為（﹣4，）．

∵點A′與點A關(guān)于y軸對稱，

∴點A′的坐標為（1，2），

設(shè)直線A′B的解析式為y=mx+n，

則有，解得：，

∴直線A′B的解析式為y=x+．

令y=x+中x=0，則y=，

∴點C的坐標為（0，）．

（2）觀察函數(shù)圖象，發(fā)現(xiàn)：

當x＜﹣4或﹣1＜x＜0時，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象下方，

∴當x+＜﹣時，x的取值范圍為x＜﹣4或﹣1＜x＜0．