【題目】將拋物線向左平移2個(gè)單位,再向上平移4個(gè)單位得到一個(gè)新的拋物線.

1)求新的拋物線的解析式.

2)過(guò)作直線,使得直線與新的拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn),求直線的解析式及相應(yīng)公共點(diǎn)的坐標(biāo).

3)請(qǐng)猜想在新的拋物線上是否有且僅有四個(gè)點(diǎn)、、、使得、、、分別與(2)中的所有公共點(diǎn)所圍成的圖形的面積均為S?若有,請(qǐng)求出S并直接寫(xiě)出、的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2l的解析式為:y=x+2;y=3x-6,x=2;直線y=-x+2與拋物線有唯一公共點(diǎn)A-2,4)直線y=3x-6與拋物線有唯一公共點(diǎn)B6,12)直線x=2 與拋物線有唯一公共點(diǎn)C(2,4) ;(3S=18,P1為(0,3),P2為(4,7),P3為(,),P4為(,.

【解析】

1)根據(jù)二次函數(shù)平移的特點(diǎn)即可求解;

2)設(shè)直線l的解析式為:y=kx+b,M代入,再與二次函數(shù)聯(lián)立,根據(jù)一元二次方程根的判別式即可求解;

3)由AB、BCAC將拋物線分為三個(gè)部分,對(duì)于任意SAB上方的拋物線上必存在兩個(gè)P點(diǎn),①當(dāng)PAC下方的拋物線上時(shí),求出此時(shí)=2,,②當(dāng)PBC下方的拋物線上時(shí),設(shè)P ,D為(t,2t),得到,利用求出S的最大值也為2,故當(dāng)P點(diǎn)在直線AB上方時(shí),與A,C圍成的面積也為2,故可得到PAC的距離為1,根據(jù)直線AB的解析式特點(diǎn)可知將

直線AB向上平移個(gè)單位即可滿足要求,得到平移后的解析式,再聯(lián)立拋物線即可出P3,P4的坐標(biāo).

解:(1

把函數(shù)向左平移2個(gè)單位,向上平移4個(gè)單位后拋物線的頂點(diǎn)為(0,3),

新的拋物線的解析式為,

2)解: 設(shè)直線l的解析式為:y=kx+b,M2,0)代入得

直線l

又直線與新的拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn),

只有一個(gè)解,

化簡(jiǎn)得

解得:

當(dāng)時(shí),直線l

解得

∴A-2,4

當(dāng)時(shí),直線l

解得

∴B6,12

過(guò)點(diǎn)M2,0)作直線l⊥x軸,交拋物線于C點(diǎn),則直線lx=2,

公共點(diǎn)C為(2,4),

綜上所述:直線y=-x+2與拋物線有唯一公共點(diǎn)A-2,4

直線y=3x-6與拋物線有唯一公共點(diǎn)B6,12

直線x=2 與拋物線有唯一公共點(diǎn)C(2,4)

3)在新的拋物線上有且僅有四個(gè)點(diǎn)P1P2、P3、P4使其分別與(2)中的所有公共點(diǎn)AB、C所圍成的四邊形面積均為S.

ABBC、AC將拋物線分為三個(gè)部分,對(duì)于任意SAB上方的拋物線上必存在兩個(gè)P點(diǎn).

當(dāng)PAC下方的拋物線上時(shí)

∵AC∥x軸,

當(dāng)P為(0,3),

當(dāng)PBC下方的拋物線上時(shí)

設(shè)P由待定系數(shù)法得BC:y=2x

PD//y軸交BCD,則D為(t,2t

它是一個(gè)開(kāi)口向下,頂點(diǎn)為(4,2)的拋物線

當(dāng)P為(4,7)時(shí),

此時(shí)

∵A-2,4),B6,12

求得AB解析式為,

A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為8A、C兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為4PAC的距離為1.

將直線AB向上平移個(gè)單位得

l交拋物線于兩點(diǎn)

,解得

綜上,S=18,P1為(0,3),P2為(4,7),P3為(,),P4為(,.

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感悟解題方法,并完成下列填空:

△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG,此時(shí)ABAD重合,由旋轉(zhuǎn)可得:

AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2,∠ABG=∠D=90°,

∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°,

因此,點(diǎn)G,B,F(xiàn)在同一條直線上.

∵∠EAF=45°

∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°.

∵∠1=∠2,

∴∠1+∠3=45°.

∠GAF=∠_________.

AG=AE,AF=AF

∴△GAF≌_______.

∴_________=EF,故DE+BF=EF.

方法遷移:

如圖,將沿斜邊翻折得到△ADC,點(diǎn)E,F(xiàn)分別為DC,BC邊上的點(diǎn),且∠EAF=∠DAB.試猜想DE,BF,EF之間有何數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想.

問(wèn)題拓展:

如圖,在四邊形ABCD中,AB=AD,E,F(xiàn)分別為DC,BC上的點(diǎn),滿足,試猜想當(dāng)∠B∠D滿足什么關(guān)系時(shí),可使得DE+BF=EF.請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想(不必說(shuō)明理由)

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(2)分別過(guò)點(diǎn)PRy軸和x軸的平行線,兩直線相交于點(diǎn)Q.請(qǐng)說(shuō)明Q點(diǎn)在直線OM上,并據(jù)此證明∠MOB=∠AOB;

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(1)該顧客至多可得到________元購(gòu)物券;

(2)請(qǐng)你用畫(huà)樹(shù)狀圖或列表的方法,求出該顧客所獲得購(gòu)物券的金額不低于50元的概率.

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(1)在給定的網(wǎng)格中,以點(diǎn)O為位似中心,將線段AB放大為原來(lái)的2得到線段(點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為).畫(huà)出線段;

(2)將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段.畫(huà)出線段;

(3)以為頂點(diǎn)的四邊形的面積是 個(gè)平方單位.

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A.B.C.D.

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