Question

已知：如圖，點(diǎn)N為△ABC的內(nèi)心，延長(zhǎng)AN交BC于點(diǎn)D，交△ABC的外接圓于點(diǎn)E．
（1）求證：EB=EN=EC；
（2）求證：NE²=AE•DE．

Answer 1

【答案】分析：點(diǎn)N為△ABC的內(nèi)心，易證EB=EC，只需證明EB=EN，或EN=EC，可以通過等角對(duì)等邊得出；欲證NE²=AE•DE，即證BE²=AE•DE，可以通過證明△BED∽△AEB得出．
解答：證明：（1）連接BN，
∵點(diǎn)N為△ABC的內(nèi)心，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∴∠BCE=∠1，
∴EB=EC．
∵∠5與∠2都是弧EC所對(duì)的圓周角，
∴∠5=∠2=∠1．
∴∠4+∠5=∠3+∠1．
∵∠NBE=∠4+∠5，∠BNE=∠3+∠1，
∴∠NBE=∠BNE．
∴EB=EN．
∴EB=EN=EC．

（2）由（1）知∠5=∠2=∠1，∠BED=∠AEB，
∴△BED∽△AEB．
∴．
即BE²=AE•DE．
∵EB=EN，
∴NE²=AE•DE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的外接圓與內(nèi)心的知識(shí)，乘積的形式通常可以轉(zhuǎn)化為比例的形式，通過相似三角形的性質(zhì)得出．