【題目】如圖,在 ABCD 中,AE、BF 分別平分∠DAB 和∠ABC,交 CD 于點 E、F,AE、BF 相交于點 M.
(1)求證:AE⊥BF;
(2)判斷線段 DF 與 CE 的大小關(guān)系,并予以證明.
【答案】(1)詳見解析;(2)DF=CE,證明詳見解析.
【解析】
試題(1)只要證明∠MAB+∠MBA=90°即可;
(2)結(jié)論:DF=CE.只要證明AD=DE,CF=BC,可得DE=CF即可解決問題;
(1)證明:∵AE、BF分別平分∠DAB和∠ABC,
∴∠EAB=∠DAB,∠ABF=∠ABC,
∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∠DAB+∠ABC=180°,
∴∠EAB+∠ABF=×180°=90°,
∴AE⊥BF.
(2)DF=CE.
證明:∵AE平分∠DAB∴∠EAB=∠EAD,
∵DC∥AB,
∴∠EAD=∠EAD,
∴AD=DE,
同理:FC=BC,
∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AD=BC,
∴DE=FC,
∴DF=CE.
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【題目】如圖,把長方形紙片ABCD沿EF折疊后.點D與點B重合,點C落在點C′的位置上.若∠1=60°,AE=1.
(1)求∠2、∠3的度數(shù);
(2)求長方形紙片ABCD的面積S.
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【題目】閱讀理解:課外興趣小組活動時,老師提出了如下問題:
如圖1,△ABC中,若AB=5,AC=3,求BC邊上的中線AD的取值范圍.
小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流,得到了如下的解決方法:延長AD到E,使得DE=AD,再連接BE(或?qū)?/span>△ACD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD),把AB、AC、2AD集中在△ABE中,利用三角形的三邊關(guān)系可得2<AE<8,則1<AD<4.
感悟:解題時,條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”字樣,可以考慮構(gòu)造以中點為對稱中心的中心對稱圖形,把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形中.
(1)問題解決:受到(1)的啟發(fā),請你證明下面命題:如圖2,在△ABC中,D是BC邊上的中點,DE⊥DF,DE交AB于點E,DF交AC于點F,連接EF.
①求證:BE+CF>EF;②若∠A=90°,探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系,并加以證明;
(2)問題拓展:如圖3,在平行四邊形ABCD中,AD=2AB,F是AD的中點,作CE⊥AB,垂足E在線段AB上,聯(lián)結(jié)EF、CF,那么下列結(jié)論①∠DCF=∠BCD;②EF=CF;③S△BEC=2S△CEF;④∠DFE=3∠AEF.中一定成立是 (填序號).
圖1 圖2 圖3
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,有一Rt△ABC,∠C=90°且A(-1,3)、B(-3,-1)、C(-3,3),已知△A1AC1是由△ABC旋轉(zhuǎn)得到的.若點Q在x軸上,點P在直線AB上,要使以Q、P、A1、C1為頂點的四邊形是平行四邊形,滿足條件的點Q的坐標為______.
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【題目】將直線y=3x+1向下平移1個單位長度,得到直線y=3x +m,若反比例函數(shù)的圖象與直線y=3x+m相交于點A,且點A 的縱坐標是3.
(1)求m和k的值;
(2) 直接寫出方程的解:
(3) 結(jié)合圖象求不等式的解集
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【題目】完成下面的證明:
已知:如圖,四邊形ABCD中,∠A=106°, ∠ABC=74°,BD⊥DC于點D, EF⊥DC于點F.
求證:∠1=∠2.
證明: ∵∠A=106°,∠ABC=74° (已知)
∴∠A+∠ABC=180°
( )
∴∠1=
∵BD⊥DC,EF⊥DC (已知)
∴∠BDF=∠EFC=90°( )
∴BD∥ ( )
∴∠2= ( )
(已證)
∴∠1=∠2 ( )
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【題目】如圖,矩形ABCD的邊AB在x軸上,AB的中點與原點O重合,AB=2,AD=1,點Q的坐標為(0,2).點P(x,0)在邊AB上運動,若過點Q、P的直線將矩形ABCD的周長分成2:1兩部分,則x的值為( 。
A. 或-B. 或-C. 或-D. 或-
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【題目】榮昌公司要將本公司100噸貨物運往某地銷售,經(jīng)與春晨運輸公司協(xié)商,計劃租用甲、乙兩種型號的汽車共6輛,用這6輛汽車一次將貨物全部運走,其中每輛甲型汽車最多能裝該種貨物16噸,每輛乙型汽車最多能裝該種貨物18噸.已知租用1輛甲型汽車和2輛乙型汽車共需費用2500元;租用2輛甲型汽車和1輛乙型汽車共需費用2450元,且同一種型號汽車每輛租車費用相同.
(1)求租用一輛甲型汽車、一輛乙型汽車的費用分別是多少元?
(2)若榮昌公司計劃此次租車費用不超過5000元.通過計算求出該公司有幾種租車方案?請你設(shè)計出來,并求出最低的租車費用.
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