Question

以△ABC的三邊為邊在BC的同一側分別作三個等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF.
(1)請猜想四邊形ADEF是什么特殊四邊形？并說明理由.
(2)當△ABC滿足條件___________時，四邊形ADEF為矩形；
(3) 當△ABC滿足條件___________時，四邊形ADEF不存在.

Answer 1

(1) 四邊形ADEF是平行四邊形，證明見解析；
（2）∠BAC=150°；
（3）∠BAC=60°．

試題分析：（1）可先證明△ABC≌△DBE，可得DE=AC，又有AC=AF，可得DE=AF，同理可得AD=EF，根據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可證四邊形ADEF是平行四邊形；
（2）如四邊形ADEF是矩形，則∠DAF=90°，又有∠BAD=∠FAC=60°，可得∠BAC=150°，故∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；
（3）根據(jù)∠BAC=60°時，∠DAF=180°，此時D、A、F三點在同一條直線上，以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形就不存在．
試題解析：（1）四邊形ADEF是平行四邊形；
∵△ABD，△BCE都是等邊三角形，
∴∠DBE=∠ABC=60°﹣∠ABE，AB=BD，BC=BE．
在△ABC和△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE（SAS）．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得EF=AD．
∴四邊形ADEF是平行四邊形;
（2）∵四邊形ADEF是平行四邊形，
∴當∠DAF=90°時，四邊形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°．
則當∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；
（3）當∠BAC=60°時，∠DAF=180°，
此時D、A、F三點在同一條直線上，以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形就不存在．
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