Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AM和BN是它的兩條切線(xiàn)，DE切⊙O于點(diǎn)E，交AM與于點(diǎn)D，交BN于點(diǎn)C，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，連接OF．
（1）求證：OD∥BE；
（2）猜想：OF與CD有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE，由于AM、DE是⊙O的切線(xiàn)，∠OAD=∠OED=90°，那么DA=DE，而OD=OD，于是可證△AOD≌△EOD，從而有∠AOD=∠EOD=∠AOE，根據(jù)圓周角定理有∠ABE=∠AOE，那么∠AOD=∠ABE，從而有OD∥BE；
（2）連接OF，同（1）證明全等一樣，易證△OCE≌△OCB，那么∠OCB=∠OCE，而AM∥BN，于是可得∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°，再由（1）得∠ADO=∠EDO，易證∠EDO+∠OCE=90°，從而可知△OCD是直角三角形，而F是斜邊上的中點(diǎn)，于是OF=CD．
解答：解：（1）證明：連接OE，
∵AM、DE是⊙O的切線(xiàn)，
∴DA=DE，∠OAD=∠OED=90°，
又∵OD=OD，
在△AOD和△EOD中，
，
∴△AOD≌△EOD，
∴∠AOD=∠EOD=∠AOE，
∵∠ABE=∠AOE，
∴∠AOD=∠ABE，
∴OD∥BE；

（2）OF=CD．
理由：連接OC，
∵BC、CE是⊙O的切線(xiàn)，
∴∠OCB=∠OCE，
∵AM∥BN，
∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°，
由（1）得∠ADO=∠EDO，
∴2∠EDO+2∠OCE=180°，
即∠EDO+∠OCE=90°，
在Rt△DOC中，
∵F是DC的中點(diǎn)，
∴OF=CD．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、平行線(xiàn)的判定、直角三角形斜邊的中線(xiàn)等于斜邊的一半．解題的關(guān)鍵是連接OE、OC，構(gòu)造直角三角形．