Question

一張正方形紙的內(nèi)部被針扎了2010個孔，這些孔和正方形的頂點(diǎn)之中的任何3點(diǎn)都不共線．作若干條互不相交的線段，它們的端點(diǎn)都是這些孔或正方形的頂點(diǎn)，這些線段將正方形分割成一些三角形，并且在這些三角形的內(nèi)部和邊上都不再有小孔．請問一共作了多少條線段？共得到了多少個三角形？

Answer 1

考點(diǎn)：立體圖形

專題：

分析：利用三角形的內(nèi)角和解決問題，根據(jù)題意可得出正方形的每個頂點(diǎn)都提供90°的角，每個孔點(diǎn)則提供360°的角，從而可得出所有三角形的內(nèi)角和表達(dá)式，從而設(shè)共分成了n個三角形，于是它們的內(nèi)角和為n•180°，聯(lián)立可得出n的值，也可得出所作的線段數(shù)．

解答：解：把2010個小孔和正方形的4個頂點(diǎn)所組成的集合稱之為M，顯然，M中的點(diǎn)都是一些三角形的公共頂點(diǎn)，
下面我們從兩個方面來計算所有三角形的內(nèi)角和，
①設(shè)共分成了n個三角形，于是它們的內(nèi)角和為n•180°，
②另一方面，這些三角形的內(nèi)角的頂點(diǎn)都是M中的點(diǎn)，也即它們的內(nèi)角都是由M中的點(diǎn)提供的，正方形的每個頂點(diǎn)都提供90°的角，每個孔點(diǎn)則提供360°的角，
所以得到的n個三角形的內(nèi)角和又應(yīng)為：4×90°+2010×360°=2011×360°，
綜合兩個方面可得n•180°=2011×360°，則n=4022，即有4022個三角形．
這4022個三角形共有4022×3條邊，
其中有4條邊是原正方形的4條邊，不用另行作出，其他各邊都是作出的線段，每條線段恰為兩個三角形的公共邊，故作出的線段總數(shù)為（4022×3-4）÷2=6031．
綜上所述可得一共作了6031條線段，共得到4022個三角形．

點(diǎn)評：此題考查了立體圖形的知識，解答本題的關(guān)鍵是得出在組成三角形的過程中，正方形的每個頂點(diǎn)都提供90°的角，每個孔點(diǎn)則提供360°的角，從而根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出方程，難度較大．