Question

如圖，已知直線l的函數(shù)表達式為，且l與x軸，y軸分別交于A，B兩點，動點Q從B點開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點A移動，同時動點P從A點開始在線段AO上以每秒1個單位長度的速度向點O移動，設點P、Q移動的時間為t秒．
（1）當t為何值時，△APQ是以PQ為底的等腰三角形？
（2）求出點P、Q的坐標；（用含t的式子表達）
（3）當t為何值時，△APQ的面積是△ABO面積的？

Answer 1

【答案】分析：（1）若△APQ是以PQ為底的等腰三角形，那么AQ=AP時，由解析式可得A（6，0），B（0，8），再利用勾股定理得AB=10，然后可以把AQ和AP用t表示，因此得到關于t的方程，解方程即可；
（2）如圖，過Q點分別向x軸，y軸引垂線，垂足分別是M，N，設Q（x，y）由題意可知BQ=2t，AP=t，利用△BQN∽△QMA∽△BOA的對應邊成比例就可以用t分別表示x、y，也就求出了點P、Q的坐標；
（3）根據(jù)（1）（2）知道，△APQ的面積=，△AOB的面積=，因此可以得到關于t的方程，解方程即可解決問題．
解答：解：（1）當AQ=AP時，是以PQ為底的等腰三角形，
∵直線l的函數(shù)表達式為，且l與x軸，y軸分別交于A，B兩點，
∴A（6，0），B（0，8），
∴AB=10，
∴AQ=10-2t，AP=t
即10-2t=t，
∴（秒），
當時，是以PQ為底的等腰三角形；

（2）過Q點分別向x軸，y軸引垂線，垂足分別是M，N，
∴NQ∥OA，QM∥OB，
∴△BNQ∽△QMA∽△BOA，
設Q（x，y）
∴BQ=2t，AP=t
而△BQN∽△QMA∽△BOA，
∴，
，
∴，
，
∴，
Q，P的坐標分別是，（6-t，0）；

（3）∵△APQ的面積=
△AOB的面積=
∴
解得，t₁=2，t₂=3
∴當t₁=2秒或，t₂=3秒時，△APQ的面積是△ABO面積的．
點評：本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識的應用，題中運用平行線的性質(zhì)、直線的解析式以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關鍵．