Question

【題目】如圖：在平行四邊形ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線交BC于點E（尺規(guī)作圖的痕跡保留在圖中了），連接EF．
（1）求證：四邊形ABEF為菱形；
（2）AE，BF相交于點O，若BF=6，AB=5，求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由尺規(guī)作∠BAF的角平分線的過程可得AB=AF，∠BAE=∠FAE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠FAE=∠AEB，

∴∠BAE=∠AEB，

∴AB=BE，

∴BE=FA，

∴四邊形ABEF為平行四邊形，

∵AB=AF，

∴四邊形ABEF為菱形；

（2）證明：解：∵四邊形ABEF為菱形，

∴AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO，

在Rt△AOB中，AO= =4，

∴AE=2AO=8．

【解析】（1）由尺規(guī)作∠BAF的角平分線的過程可得，AB=AF，∠BAE=∠FAE，根據(jù)平行四邊形的性質可得∠FAE=∠AEB，然后證明AF=BE，進而可得四邊形ABEF為平行四邊形，再由AB=AF可得四邊形ABEF為菱形；（2）根據(jù)菱形的性質可得AE⊥BF，BO= FB=3，AE=2AO，利用勾股定理計算出AO的長，進而可得AE的長．