Question

實(shí)數(shù)a，b，c滿足a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1．求最大的實(shí)數(shù)k，使得不等式|a+b|≥k|c|恒成立．

Answer 1

解：不等式|a+b|≥4|c|對(duì)滿足題設(shè)條件的實(shí)數(shù)a，b，c恒成立．由已知條件知，a，b，c都不等于0，且c＞0．
因?yàn)閍bc=1，有ab=＞0；
又因?yàn)閍b+bc+ca=0，
所以a+b=-＜0，
所以a≤b＜0．
由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知，a，b是一元二次方程x²+x+=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
于是△=-≥0，
所以c³≤．
因此|a+b|=-（a+b）=≥4c=4|c|，不等式|a+b|≥4|c|對(duì)滿足題設(shè)條件的實(shí)數(shù)a，b，c恒成立，
所以k≤4，最大的實(shí)數(shù)k為4．
分析：通過(guò)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1，利用c表示a+b和ab，并且確定它們的符號(hào)．然后寫(xiě)出以a、b為根的一元二次方程，則有△≥0，得到c的范圍，再變形|a+b|，有|a+b|=-（a+b）=≥4c=4|c|，最后確定k的范圍，找到k的最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程根的判別式．當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，以a，b兩數(shù)為根的方程為：x²+（a+b）x+ab=0．熟練掌握不等式的性質(zhì)和絕對(duì)值的含義．