Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，將一塊正方形紙板OEFG如圖1擺放，它的頂點O與矩形ABCD的對角線交點重合，點A在正方形的邊OG上，現(xiàn)將正方形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點B在OG邊上時，停止旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中OG交AB于點M，OE交AD于點N．

(1)開始旋轉(zhuǎn)前，即在圖1中，連接NC．

①求證：NC=NA（M）；

②若圖1中NA（M）=4，DN=2，請求出線段CD的長度．

(2)在圖2（點B在OG上）中，請問DN、AN、CD這三條線段之間有什么數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，并說明理由．

（3）試探究圖3中AN、DN、AM、BM這四條線段之間有什么數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②；（2）ND2=NA2+CD2，證明見解析；（3）DN2+BM2=AM2+AN2，證明見解析.

【解析】試題分析：（1）①由矩形的對角線互相平分得OA=OC，根據(jù)正方形的內(nèi)角都是直角，得∠EOG=90°，用線段垂直平分線上的點到兩端點的距離相等即可得；②用勾股定理計算即可；（2）連接BN，方法同（1）得到NB=ND，再用勾股定理即可；（3）延長GO交CD于H，連接MN，HN，先判斷出BM=DH，OM=OH，再和前兩個一樣，得出MN=NH，再用勾股定理即可．

解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC，

∵四邊形EFGO為正方形，∴∠EOG=90°，

∴NC=NA；

②由①得，NA=NC=4，DN=2，

根據(jù)勾股定理得CD==；

（2）結(jié)論：ND2=NA2+CD2，連接NB，

∵四邊形ABCD是矩形，∴OB=OD，AB=CD，

∵四邊形EFGO為正方形，∴∠EOG=90°，

∴ND=NB.

根據(jù)勾股定理得NB2=NA2+AB2=NA2+CD2=ND2；

（3）結(jié)論AN2+AM2=DN2+BM2，

延長GO交CD于H，連接MN，HN，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴OB=OD，∠OBM=∠ODH，

又∵∠BOM=∠DOH，

∴△BOM≌△DOH，

∴BM=DH，OM=OH，

∵四邊形EFGO是正方形，

∴∠EOG=90°，

∴MN=NH，

在Rt△NDH中，NH2=DN2+DH2=DN2+BM2，

在Rt△AMN中，MN2=AM2+AN2，

∴DN2+BM2=AM2+AN2．