Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦BC=2cm，∠ABC=60º．
【小題1】求⊙O的直徑；
【小題2】若D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)CD，當(dāng)BD長(zhǎng)為多少時(shí)，CD與⊙O相切；
【小題3】若動(dòng)點(diǎn)E以2cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)沿著AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F以1cm/s的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿BC方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，連結(jié)EF，當(dāng)為何值時(shí)，△BEF為直角三角形．

Answer 1

【小題1】∵AB是⊙O的直徑 ∴∠ACB＝90º∵∠ABC＝60º
∴∠BAC＝180º－∠ACB－∠ABC＝ 30º∴AB＝2BC＝4cm 即⊙O的直徑為4cm．
【小題1】如圖1，CD切⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)OC，則OC＝OB＝1/2·AB＝2cm．
∴CD⊥CO（圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑）∴∠OCD＝90º∵∠BAC＝ 30º
∴∠COD＝2∠BAC＝ 60º  ∴∠D＝180º－∠COD－∠OCD＝ 30º ∴OD＝2OC＝4cm
∴BD＝OD－OB＝4－2＝2（cm） ∴當(dāng)BD長(zhǎng)為2cm，CD與⊙O相切．      
【小題1】根據(jù)題意得：AE＝2tcm；BE＝（4－2t）cm，BF＝tcm；
如圖2，當(dāng)EF⊥BC時(shí)，△BEF為直角三角形，此時(shí)△BEF∽△BAC ∴BE：BA＝BF：BC
即：（4－2t）：4＝t：2  解得：t＝1
如圖3，當(dāng)EF⊥BA時(shí)，△BEF為直角三角形，此時(shí)△BEF∽△BCA ∴BE：BC＝BF：BA
即：（4－2t）：2＝t：4  解得：t＝1.6   ∴當(dāng)t＝1s或t＝1.6s時(shí)，△BEF為直角三角形．解析:
直徑所對(duì)的圓周角為90°，然后根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可以求得直徑的長(zhǎng)；由切線定理可以求得當(dāng)BD長(zhǎng)為2cm，CD與⊙O相切；第（3）涉及到三角形相似，求得t的值。