某公司研制出一種新型科技產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的成本為2400元.在該產(chǎn)品的試銷期間,為促銷,公司決定:商家一次購買這種新型產(chǎn)品不超過10件時,每件按3000元銷售;若一次購買該種產(chǎn)品超過10件時,每多購買一件,所購買的全部產(chǎn)品的銷售單價均降低10元,但銷售單價均不低于2600元;且商家一次性購買該產(chǎn)品不能超過60件.
(1)商家一次購買這種產(chǎn)品多少件時,銷售單價恰好為2600元?
(2)設(shè)商家一次購買這種產(chǎn)品x件,開發(fā)公司所獲的利潤為y元.在公司規(guī)定范圍內(nèi),商家購買多少件時,公司可獲得最大利潤?最大利潤是多少?
(3)某商家一次購買這種產(chǎn)品a件,以每件3200元的價格全部售出,共獲利24750元(不計其它成本),請求出產(chǎn)品件數(shù)a的值.
解:(1)設(shè)商家一次購買該產(chǎn)品x件時,銷售單價恰好為2600元.
3000-10(x-10)=2600,
解得:x=50;
(2)當(dāng)0<x≤10時,y=(3000-2400)x=600x,
當(dāng)x=10時,y最大=600×10=6000(元)
當(dāng)10<x≤50時,
y=[3000-10(x-10)-2400]x
=-10x2+700x
=-10(x-35)2+12250,
當(dāng)x=35時,y最大=12250(元),
當(dāng)50<x≤60時,y=(2600-2400)x=200x,
當(dāng)x=60時,y最大=200×60=12000(元)
綜上所述,當(dāng)商家購買35件時,公司可獲得最大利潤,最大利潤是12250元.
(3)由題意:當(dāng)0<a≤10時和當(dāng)50<a≤60時,
所求件數(shù)都不為整數(shù),所以10<a≤50,
列方程得:3200a-[3000-10(a-10)]a=24750,
化簡,得:a2+10a-2475=0,
解得:a1=45,a2=-55(不合題意,舍去),
即此時產(chǎn)品件數(shù)a的值是45件.
分析:(1)根據(jù)一次購買該種產(chǎn)品超過10件時,每多購買一件,所購買的全部產(chǎn)品的銷售單價均降低10元,得出3000-10(x-10)=2600求出即可;
(2)分別根據(jù)當(dāng)0<x≤10時,當(dāng)10<x≤50時,當(dāng)50<x≤60時分別求出最值即可;
(3)根據(jù)x不同的取值范圍得出a的值即可.
點評:此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)最值問題,根據(jù)已知建立函數(shù)關(guān)系式,借助二次函數(shù)解決實際問題是解題關(guān)鍵.