Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，CD⊥AB于D，且AB=8，DB=2．
（1）求證：△ABC∽△CBD；
（2）求圖中陰影部分的面積．（結果精確到0.1，參考數據）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據直徑所對的圓周角是直角，得到直角三角形ABC，再根據兩角對應相等即可證明三角形相似；
（2）結合圖形，知陰影部分的面積即為半圓的面積減去直角三角形ABC的面積．根據相似三角形的性質即可求得BC的長，再根據勾股定理求得AC的長，從而求解．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又CD⊥AB，
∴∠CDB=90°．
在△ABC與△CBD中，
∠ACB=∠CDB=90°，∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBD．

（2）解：∵△ABC∽△CBD，
∴．
∴CB²=DB•AB．
∵AB=8，DB=2，
∴CB=4．
在Rt△ABC中，，
∴．
∴S_陰影部分=．
點評：此題綜合運用了圓周角定理的推論、相似三角形的判定和性質、勾股定理以及直角三角形和半圓的面積公式．