Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝4，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線，C是切線上一點(diǎn)，且BC＝2，P是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)PC交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作PC的垂線，交切線BC于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連結(jié)DF交AB于點(diǎn)G．

（1）當(dāng)P是OA的中點(diǎn)時(shí)，求PE的長(zhǎng)；

（2）若∠PDF＝∠E，求△PDF的面積．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）2或.

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)P是OA的中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)切線的性質(zhì)，可證得△CBP∽△PBE，從而得到，在Rt△PBE中，由勾股定理可求得PE的長(zhǎng)；（2）分弦DF不是直徑和弦DF恰為直徑兩種情況討論即可.

試題解析：（1）當(dāng)P是OA的中點(diǎn)時(shí)，PB＝3.

∵CE是⊙O的切線，∴AB⊥CE.

又∵CP⊥PE，∠CPB＝∠E，∴△CBP∽△PBE.

∴，∴.

∴在Rt△PBE中，.

（2）在Rt△PDG中，由∠PDF＝∠E＝∠CPB，可知∠GPF＝∠GFP，

∴GD＝GP＝GF.

直徑AB平分弦DF，有兩種可能.：

①弦DF不是直徑，如圖①，則AB⊥DF，于是PD＝PF，∠GPD＝∠GDP＝45º.

∴BP＝BC＝2＝BO，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合.∴S_△PDF＝×2×2＝2.

②弦DF恰為直徑，如圖②，則點(diǎn)P即為點(diǎn)A.而BC＝2，BP＝DF＝4，∴BE＝8，CE＝10.

∴S_△PCE＝×10×4＝20，∴由△PCE∽△PFD得,S_△PDF＝.

考點(diǎn)：1.動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；2. 切線的性質(zhì)；3.相似三角形的判定和性質(zhì)；4.勾股定理；5.垂徑定理；6.三角形的面積；7.分類思想的應(yīng)用.